Omomorfismo di gruppi

In matematica, e più precisamente in algebra, un omomorfismo di gruppi è un tipo di funzione fra gruppi che ne preserva le operazioni. Questo concetto identifica quindi quali sono le funzioni "interessanti" nella teoria dei gruppi.

Definizione

Dati due gruppi $(G,\cdot )$ e $(H,\circ )$ , una funzione $f\colon G\longrightarrow H$ è un omomorfismo se

f(a\cdot b)=f(a)\circ f(b),

per ogni $a$ e $b$ appartenenti a $G$ .

La funzione $f$ è inoltre detta monomorfismo se è iniettiva, epimorfismo se è suriettiva e isomorfismo se è biiettiva.

L'insieme degli omomorfismi da $G$ ad $H$ si indica con $\mathrm {Hom} (G,H)$ .

Esempi

Dati due gruppi qualsiasi $G$ e $H$ , l'omomorfismo banale $f\colon G\longrightarrow H$ è l'omomorfismo che assegna ad ogni elemento $g$ di $G$ l'elemento neutro $e_{H}$ di $H$ . L'identità $\mathrm {id} \colon G\longrightarrow G$ è un altro esempio immediato; allo stesso modo, se $H$ è un sottogruppo di $G$ , l'inclusione $i\colon H\longrightarrow G$ è un omomorfismo.

Il determinante di una matrice quadrata a coefficienti in un campo è, grazie al teorema di Binet, un esempio di omomorfismo tra il gruppo delle matrici quadrate invertibili con l'operazione di prodotto tra matrici e il gruppo moltiplicativo degli elementi non nulli del campo.

Nel campo dell'analisi matematica, la funzione esponenziale è un omomorfismo tra i reali con l'addizione e i reali positivi con la moltiplicazione.

Proprietà

Dalla definizione si deduce subito che $f$ manda l'elemento neutro di $G$ nell'elemento neutro di $H$ . Si deduce inoltre che $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$ . Di conseguenza, si può dire che $f$ è "compatibile con la struttura di gruppo", perché preserva elementi neutri ed inversi.
L'insieme $\mathrm {Hom} (G,H)$ può essere munito in modo naturale di una struttura di gruppo con l'operazione così definita: dati due omomorfismi $f$ e $g$ , la loro composizione $f\circ g$ è la funzione che manda $a$ in $f(a)\cdot g(a)$ , dove $\cdot$ è l'operazione di gruppo in $H$ : si verifica che anche $f\circ g$ è un omomorfismo. Nel caso in cui $H$ sia un gruppo abeliano, anche $\mathrm {Hom} (G,H)$ è abeliano, a prescindere dal gruppo $G$ , infatti $(f\circ g)(a)=f(a)\cdot g(a)=g(a)\cdot f(a)=(g\circ f)(a)$ , per ogni $a\in G$ , e quindi $f\circ g=g\circ f$ .
Il nucleo di $f$ è definito come l'insieme di tutti gli elementi $a$ di $G$ tali che $f(a)$ è l'elemento neutro di $H$ . Esso è un sottogruppo normale di $G$ ; inoltre, ogni sottogruppo normale è il nucleo di un omomorfismo, ad esempio l'omomorfismo naturale (o proiezione sul quoziente) $G\longrightarrow G/H$ .
L'immagine di $G$ tramite $f$ è un sottogruppo di $H$ , non necessariamente normale.