Orociclo

In geometria iperbolica, un orociclo è una curva del piano iperbolico ortogonale a tutte le rette appartenenti ad un fascio.

Un orociclo blu nel Disco di Poincaré e alcune rette normali rosse. Le rette normali convergono asintoticamente allo stesso punto, ovvero quello in cui orociclo e circonferenza all'infinito si intersecano.

Definizione

Un orociclo può essere definito, nel modello di piano iperbolico dato dal disco di Poincaré, come una qualsiasi circonferenza tangente al bordo del disco.

Proprietà

Un orociclo interseca il bordo del disco di Poincaré (i "punti all'infinito" del piano iperbolico) in un punto $P$, detto centro. Due orocicli sono detti concentrici se intersecano il bordo del disco nello stesso punto $P$.

Fascio di rette

Ogni retta del piano iperbolico che converge asintoticamente a $P$ interseca l'orociclo ortogonalmente in un punto. Queste rette, dette raggi, formano un fascio. Valgono le proprietà seguenti:

• Ciascun raggio è un asse di simmetria per l'orociclo.
• Il rapporto tra due archi di oricicli concentrici tagliati dagli stessi raggi dipende solo dalla distanza dei due oricicli, secondo la relazione seguente:

${\frac {AB}{A'B'}}=e^{-{\frac {x}{k}}},$

dove $x=AA'=BB'$ sono segmenti di raggi tagliati da oricicli concentrici, e $k$ è una costante opportuna.

Orocicli

Valgono le proprietà seguenti.

• Dati due punti $A$ e $B$ dell'orociclo, esiste una isometria del piano che fissa l'orociclo come insieme ma trasla i punti, spostando $A$ in $B$.
• Dati due orocicli $O$ e $O'$, esiste una isometria del piano che sposta il primo nel secondo (gli orocicli sono tutti congruenti).

Voci correlate

• Orosfera
• Parallelismo in geometria iperbolica

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Horocycle, su MathWorld, Wolfram Research.