L'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo per la funzione d'onda di una particella libera è caratterizzata da un potenziale nullo, ed assume la forma:
i
ℏ
∂
∂
t
ψ
(
x
,
t
)
=
−
ℏ
2
2
m
∂
2
∂
x
2
ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)}
con la funzione d'onda preparata nello stato iniziale
ψ
(
x
,
0
)
=
ϕ
k
(
x
)
{\displaystyle \psi (x,0)=\phi _{k}(x)}
pacchetto d'onda in una dimensione:
ψ
(
x
,
t
)
=
1
2
π
ℏ
∫
d
p
ϕ
(
p
)
e
i
(
p
x
−
p
2
2
m
t
)
/
ℏ
{\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int dp\,\phi (p)e^{i(px-{\frac {p^{2}}{2m}}t)/\hbar }}
Che è una sovrapposizione di onde piane :
ψ
k
(
x
,
t
)
=
A
e
−
i
E
k
t
/
ℏ
+
i
k
x
=
ϕ
k
(
x
)
e
−
i
E
k
t
/
ℏ
,
{\displaystyle \psi _{k}(x,t)=A\,e^{-iE_{k}t/\hbar +ikx}=\phi _{k}(x)\,e^{-iE_{k}t/\hbar },}
di energia
E
k
=
p
2
/
(
2
m
)
{\displaystyle E_{k}=p^{2}/(2m)}
p
=
ℏ
k
{\displaystyle p=\hbar \,k}
frequenza :
ω
k
=
E
k
ℏ
=
ℏ
k
2
2
m
,
{\displaystyle \omega _{k}={\frac {E_{k}}{\hbar }}={\frac {\hbar k^{2}}{2m}},}
Il vettore k è il vettore d'onda ,
ϕ
k
(
x
)
{\displaystyle \phi _{k}(x)}
ϕ
(
p
)
=
⟨
ϕ
k
|
ψ
k
⟩
=
1
2
π
ℏ
∫
d
x
e
−
i
p
x
ℏ
ψ
0
(
x
)
{\displaystyle \phi (p)=\langle \phi _{k}|\psi _{k}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int dxe^{-{\frac {ipx}{\hbar }}}\psi ^{0}(x)}
la trasformata di Fourier della funzione
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
Il fattore prima dell'integrale del pacchetto d'onda è dovuto alla corretta normalizzazione, dovuta alla interpretazione probabilistica della funzione d'onda. Essendo un'equazione differenziale al primo ordine nel tempo, l'equazione di Schrödinger deve essere accompagnata dalla condizione iniziale della funzione d'onda. Ad esempio al tempo
t
=
0
{\displaystyle t=0}
ψ
(
x
,
t
=
0
)
=
1
2
π
ℏ
∫
d
p
ϕ
(
p
)
e
i
p
x
/
ℏ
{\displaystyle \psi (x,t=0)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int dp\,\phi (p)e^{ipx/\hbar }}
in modo che la sua evoluzione nel tempo esista determinata per ogni istante t . Abbiamo stabilito anche che la giusta interpretazione della funzione d'onda è che:
P
(
x
,
t
)
d
x
=
|
ψ
(
x
,
t
)
|
2
d
x
{\displaystyle P(x,t)dx=|\psi (x,t)|^{2}dx\ }
rappresenta la probabilità che la particella si trovi nell'intervallo
x
,
x
+
d
x
{\displaystyle x,x+dx}
∫
−
∞
∞
|
ψ
(
x
,
t
)
|
2
d
x
=
1
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x,t)|^{2}dx=1}
che rappresenta il fatto che la probabilità di trovare la particella in qualche punto dello spazio (in questo caso siamo su una retta perché stiamo prendendo solo il caso unidimensionale, ma tutto ciò vale anche nel caso tridimensionale), deve essere 1 con certezza. Abbiamo inoltre stabilito che le funzioni accettabili come soluzioni dell'equazione di Schrödinger sono le funzioni definite in un campo vettoriale complesso e che siano a quadrato sommabili, cioè sia sempre verificata:
∫
−
∞
∞
|
ψ
(
x
,
0
)
|
2
d
x
<
∞
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x,0)|^{2}dx<\infty }
e il fatto che sia lineare implica che possiamo considerare la sovrapposizione:
ψ
(
x
,
t
)
=
c
1
ψ
1
(
x
,
t
)
+
c
2
ψ
2
(
x
,
t
)
{\displaystyle \psi (x,t)=c_{1}\psi _{1}(x,t)+c_{2}\psi _{2}(x,t)\ }
dove
c
1
,
c
2
∈
C
{\displaystyle c_{1},c_{2}\in \mathbb {C} }
principio di sovrapposizione , essa è anche soluzione dell'equazione di Schrödinger. Un'altra caratteristica delle soluzioni dell'equazione di Schrödinger è che se il modulo quadro della funzione d'onda è importante perché rappresenta una probabilità, la fase dell'onda invece non ha rilevanza fisica.
Nel caso di particella libera le autofunzioni dell'energia coincidono con le autofunzioni dell'operatore impulso , dal momento che i due operatori
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
p
^
{\displaystyle {\hat {p}}}
commutano , e possiedono quindi una base di autostati comune.equazione di Schrödinger stazionaria per le autofunzioni di particella libera è in generale
−
ℏ
2
2
m
d
2
d
x
2
ϕ
(
x
)
=
E
ϕ
(
x
)
.
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\phi (x)=E\,\phi (x).}
dove m è la massa della particella ed E l'energia dello stato
ϕ
{\displaystyle \phi }
equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti, che può essere posta nella forma:
d
2
d
x
2
ϕ
(
x
)
=
−
k
2
⋅
ϕ
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\phi (x)=-k^{2}\cdot \phi (x),}
dove
k
=
2
m
E
/
ℏ
{\displaystyle k={\sqrt {2mE}}/\hbar }
E
≥
0
{\displaystyle E\geq 0}
k
{\displaystyle k}
ϕ
k
(
x
)
=
A
e
i
k
x
+
B
e
−
i
k
x
,
{\displaystyle \phi _{k}(x)=A\,e^{ikx}+B\,e^{-ikx},}
con A ,B coefficienti reali arbitrari da determinarsi. Imponendo la condizione al contorno che l'autofunzione contenga solo una componente progressiva, si ottiene
B
=
0
{\displaystyle B=0}
ϕ
k
(
x
)
=
A
e
i
k
x
,
{\displaystyle \phi _{k}(x)=A\,e^{ikx},}
La costante A si ricava imponendo che gli stati
ϕ
k
{\displaystyle \phi _{k}}
[ 1]
Lo studio della particella libera in tre dimensioni è un esempio di propagazione di onde sferiche .
modifica
L'equazione di Schrödinger radiale nel caso di particella libera per le autofunzioni dell'energia
Ψ
k
,
l
,
m
=
R
(
r
)
Y
l
,
m
(
θ
,
φ
)
{\displaystyle \Psi _{k,l,m}=R(r)Y_{l,m}(\theta ,\varphi )}
dove
Y
l
,
m
{\displaystyle Y_{l,m}}
−
1
2
m
[
ℏ
2
r
2
d
d
r
(
r
2
d
d
r
)
−
l
(
l
+
1
)
ℏ
2
r
2
]
Ψ
k
,
l
,
m
=
E
Ψ
k
,
l
,
m
{\displaystyle -{\frac {1}{2m}}\left[{\frac {\hbar ^{2}}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d}{dr}}\right)-{\frac {l(l+1)\hbar ^{2}}{r^{2}}}\right]\Psi _{k,l,m}=E\Psi _{k,l,m}}
dove
l
(
l
+
1
)
ℏ
2
{\displaystyle l(l+1)\hbar ^{2}}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
R
E
,
l
{\displaystyle R_{E,l}}
l ma non da m , infatti non compare l'operatore
L
z
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{z}}
R
(
r
)
=
R
k
,
l
(
r
)
r
{\displaystyle R(r)={\frac {R_{k,l}(r)}{r}}}
[
−
ℏ
2
2
m
d
2
d
r
2
+
ℏ
2
l
(
l
+
1
)
2
m
r
2
]
R
k
,
l
(
r
)
=
E
R
k
,
l
(
r
)
{\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {\hbar ^{2}l(l+1)}{2mr^{2}}}\right]R_{k,l}(r)=ER_{k,l}(r)}
Le funzioni
R
k
,
l
{\displaystyle R_{k,l}}
k e dal valore di l .
La normalizzazione delle funzioni d'onda sono date da:
∫
0
∞
Ψ
k
′
,
l
′
,
m
′
∗
Ψ
k
,
l
,
m
r
2
d
r
∫
d
Ω
=
2
π
δ
l
′
l
δ
m
′
m
δ
(
k
′
−
k
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\Psi _{k',l',m'}^{*}\Psi _{k,l,m}r^{2}\,dr\,\int d\Omega =2\pi \delta _{l'l}\delta _{m'm}\delta (k'-k)}
come vuole la normalizzazione discreta (
d
Ω
=
d
θ
d
φ
{\displaystyle d\Omega =d\theta d\varphi }
l ed m data dalle autofunzioni del momento angolare e normalizzazione continua per k . Per le funzioni radiali che ci interessano:
∫
0
∞
R
k
′
,
l
∗
R
k
,
l
r
2
d
r
=
2
π
δ
(
k
′
−
k
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k',l}^{*}R_{k,l}r^{2}\,dr=2\pi \delta (k'-k)}
In termini di energia usando
ℏ
2
k
2
/
2
m
=
E
{\displaystyle \hbar ^{2}k^{2}/2m=E}
∫
0
∞
R
E
′
,
l
∗
R
E
,
l
r
2
d
r
=
δ
(
E
′
−
E
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{E',l}^{*}R_{E,l}r^{2}\,dr=\delta (E'-E)}
l
=
0
{\displaystyle l=0}
modifica
Per
l
=
0
{\displaystyle l=0}
d
2
R
k
,
0
(
r
)
d
r
2
+
2
r
d
R
k
,
0
(
r
)
d
r
+
k
2
R
k
,
0
)
(
r
)
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}R_{k,0}(r)}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {dR_{k,0}(r)}{dr}}+k^{2}R_{k,0)}(r)=0}
la cui soluzione regolare nell'origine cioè che soddisfa la condizione di continuità
lim
r
→
0
R
(
r
)
=
0
{\displaystyle \lim _{r\to 0}R(r)=0}
R
k
,
0
(
r
)
=
A
1
sin
k
r
r
{\displaystyle R_{k,0}(r)=A_{1}{\frac {\sin kr}{r}}}
mentre quella singolare nell'origine:
R
k
,
0
(
r
)
=
−
A
2
cos
k
r
r
{\displaystyle R_{k,0}(r)=-A_{2}{\frac {\cos kr}{r}}}
dove
A
1
,
A
2
{\displaystyle A_{1},A_{2}}
A
1
2
∫
0
∞
d
r
r
2
sin
(
k
′
r
)
sin
(
k
r
)
=
2
π
δ
(
k
′
−
k
)
{\displaystyle A_{1}^{2}\int _{0}^{\infty }dr\,r^{2}\sin(k'r)\sin(kr)=2\pi \delta (k'-k)}
da cui
A
1
=
2
{\displaystyle A_{1}=2}
R
k
,
0
(
r
)
=
2
sin
k
r
r
{\displaystyle R_{k,0}(r)=2{\frac {\sin kr}{r}}}
R
k
,
0
(
r
)
=
−
2
cos
k
r
r
{\displaystyle R_{k,0}(r)=-2{\frac {\cos kr}{r}}}
l
≠
0
{\displaystyle l\neq 0}
modifica
Facciamo la sostituzione:
R
k
,
l
(
r
)
=
r
l
χ
k
,
l
{\displaystyle R_{k,l}(r)=r^{l}\chi _{k,l}\ }
e risolviamo l'equazione:
d
2
χ
k
,
l
d
r
2
+
2
(
l
+
1
)
r
d
χ
k
,
l
d
r
+
k
2
χ
k
,
l
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}\chi _{k,l}}{dr^{2}}}+{\frac {2(l+1)}{r}}{\frac {d\chi _{k,l}}{dr}}+k^{2}\chi _{k,l}=0}
derivando rispetto ad r abbiamo:
d
3
χ
k
,
l
d
r
3
+
2
(
l
+
1
)
r
d
2
χ
k
,
l
d
r
2
+
k
2
d
χ
k
,
l
d
r
−
2
(
l
+
1
)
r
2
d
χ
k
,
l
d
r
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{3}\chi _{k,l}}{dr^{3}}}+{\frac {2(l+1)}{r}}{\frac {d^{2}\chi _{k,l}}{dr^{2}}}+k^{2}{\frac {d\chi _{k,l}}{dr}}-{\frac {2(l+1)}{r^{2}}}{\frac {d\chi _{k,l}}{dr}}=0}
cioè derivando si aggiunge un termine costante. Quindi se
χ
k
,
l
′
=
r
χ
k
,
l
+
1
{\displaystyle \chi '_{k,l}=r\chi _{k,l+1}}
d
2
χ
k
,
l
+
1
d
r
2
+
2
(
l
+
2
)
r
d
χ
k
,
l
+
1
d
r
+
k
2
χ
k
,
l
+
1
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}\chi _{k,l+1}}{dr^{2}}}+{\frac {2(l+2)}{r}}{\frac {d\chi _{k,l+1}}{dr}}+k^{2}\chi _{k,l+1}=0}
dove le funzioni
χ
k
,
l
{\displaystyle \chi _{k,l}}
χ
k
,
l
+
1
=
1
r
d
χ
k
,
l
d
r
{\displaystyle \chi _{k,l+1}={\frac {1}{r}}{\frac {d\chi _{k,l}}{dr}}}
Quindi noto il termine:
χ
k
,
0
(
r
)
=
R
k
,
0
(
r
)
=
2
sin
k
r
r
{\displaystyle \chi _{k,0}(r)=R_{k,0}(r)=2{\frac {\sin kr}{r}}}
allora tutte le funzioni sono note infatti per
l
≠
0
{\displaystyle l\neq 0}
χ
k
,
l
(
r
)
=
(
1
r
d
d
r
)
l
χ
k
,
0
{\displaystyle \chi _{k,l}(r)=\left({\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}\right)^{l}\chi _{k,0}}
In definitiva le funzioni radiali sono date da:
R
k
,
l
(
r
)
=
N
l
r
l
(
1
r
d
d
r
)
l
sin
k
r
r
{\displaystyle R_{k,l}(r)=N_{l}r^{l}\left({\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}\right)^{l}{\frac {\sin kr}{r}}}
dove la costante di normalizzazione vale
N
l
=
2
(
−
)
l
k
l
{\displaystyle N_{l}={\frac {2(-)^{l}}{k^{l}}}}
S
k
,
l
(
r
)
=
N
l
r
l
(
1
r
d
d
r
)
l
cos
k
r
r
{\displaystyle S_{k,l}(r)=N_{l}r^{l}\left({\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}\right)^{l}{\frac {\cos kr}{r}}}
Per
r
→
0
{\displaystyle r\to 0}
sin
k
r
{\displaystyle \sin kr}
r :
(
1
r
d
d
r
)
l
sin
k
r
r
≃
(
1
r
d
d
r
)
l
(
−
)
l
(
k
r
)
2
l
+
1
r
(
2
l
+
1
)
!
+
O
(
r
2
)
=
(
−
)
l
k
2
l
+
1
(
2
l
+
1
)
(
2
l
−
1
)
(
2
l
−
3
)
⋯
5
⋅
3
⋅
1
+
O
(
r
2
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}\right)^{l}{\frac {\sin kr}{r}}\simeq \left({\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}\right)^{l}(-)^{l}{\frac {(kr)^{2l+1}}{r(2l+1)!}}+O(r^{2})={\frac {(-)^{l}k^{2l+1}}{(2l+1)(2l-1)(2l-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}+O(r^{2})}
Le funzioni d'onda radiali regolari nell'origine assumono la forma:
R
k
,
l
(
r
)
≃
2
k
l
+
1
r
l
(
2
l
+
1
)
(
2
l
−
1
)
(
2
l
−
3
)
⋯
5
⋅
3
⋅
1
+
O
(
r
2
)
{\displaystyle R_{k,l}(r)\simeq {\frac {2k^{l+1}r^{l}}{(2l+1)(2l-1)(2l-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}+O(r^{2})}
Per
r
→
∞
{\displaystyle r\to \infty }
r :
R
k
,
l
≃
2
r
sin
(
k
r
−
l
π
2
)
{\displaystyle R_{k,l}\simeq {\frac {2}{r}}\sin \left(kr-{\frac {l\pi }{2}}\right)}
infatti ogni derivazione rispetto ad r del seno aggiunge solo un termine
−
π
/
2
{\displaystyle -\pi /2}
Le soluzioni
R
k
,
l
(
r
)
{\displaystyle R_{k,l}(r)}
funzioni di Bessel sferiche regolari e singolari nell'origine. Le prime funzioni di Bessel sferiche sono:
j
0
(
x
)
=
sin
x
x
{\displaystyle j_{0}(x)={\frac {\sin x}{x}}}
n
0
(
x
)
=
−
cos
x
x
{\displaystyle n_{0}(x)=-{\frac {\cos x}{x}}}
j
1
(
x
)
=
sin
x
x
2
−
cos
x
x
{\displaystyle j_{1}(x)={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}}}
n
1
(
x
)
=
−
cos
x
x
2
−
sin
x
x
{\displaystyle n_{1}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}}}
j
2
(
x
)
=
(
3
x
3
−
1
x
)
sin
x
−
3
cos
x
x
2
{\displaystyle j_{2}(x)=\left({\frac {3}{x^{3}}}-{\frac {1}{x}}\right)\sin x-{\frac {3\cos x}{x^{2}}}}
n
2
(
x
)
=
−
(
3
x
3
−
1
x
)
cos
x
−
3
sin
x
x
2
{\displaystyle n_{2}(x)=-\left({\frac {3}{x^{3}}}-{\frac {1}{x}}\right)\cos x-{\frac {3\sin x}{x^{2}}}}
j
l
(
x
)
=
(
−
)
l
x
l
(
1
x
d
d
x
)
l
sin
x
x
{\displaystyle j_{l}(x)=(-)^{l}x^{l}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{l}{\frac {\sin x}{x}}}
n
l
(
x
)
=
−
(
−
)
l
x
l
(
1
x
d
d
x
)
l
cos
x
x
{\displaystyle n_{l}(x)=-(-)^{l}x^{l}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{l}{\frac {\cos x}{x}}}
Allora le funzioni radiali regolari e singolari per la particella libera sono espresse:
R
k
,
l
(
r
)
=
2
π
k
r
J
l
+
1
/
2
(
k
r
)
=
2
k
j
l
(
k
r
)
{\displaystyle R_{k,l}(r)={\sqrt {\frac {2\pi k}{r}}}J_{l+1/2}(kr)=2kj_{l}(kr)}
S
k
,
l
(
r
)
=
2
π
k
r
N
l
+
1
/
2
(
k
r
)
=
2
k
n
l
(
k
r
)
{\displaystyle S_{k,l}(r)={\sqrt {\frac {2\pi k}{r}}}N_{l+1/2}(kr)=2kn_{l}(kr)}
dove
J
l
+
1
/
2
,
N
l
+
1
/
2
{\displaystyle J_{l+1/2},N_{l+1/2}}
equazione di Bessel :
d
2
d
z
2
Z
v
+
1
z
Z
v
+
(
1
−
v
2
z
2
)
Z
v
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dz^{2}}}Z_{v}+{\frac {1}{z}}Z_{v}+\left(1-{\frac {v^{2}}{z^{2}}}\right)Z_{v}=0}
Il legame tra le funzioni di Bessel di ordine intero e semintero è dato da:
j
l
(
x
)
=
π
2
x
J
l
+
1
/
2
(
x
)
{\displaystyle j_{l}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{l+1/2}(x)}
Gli andamenti asintotici per
x
→
0
{\displaystyle x\to 0}
j
l
(
x
)
≃
x
l
(
2
l
+
1
)
!
!
{\displaystyle j_{l}(x)\simeq {\frac {x^{l}}{(2l+1)!!}}}
n
l
(
x
)
≃
(
2
l
−
1
)
!
!
x
l
+
1
{\displaystyle n_{l}(x)\simeq {\frac {(2l-1)!!}{x^{l+1}}}}
per
x
→
∞
{\displaystyle x\to \infty }
j
l
(
x
)
≃
1
x
cos
(
x
−
(
l
+
1
)
π
2
)
{\displaystyle j_{l}(x)\simeq {\frac {1}{x}}\cos \left(x-{\frac {(l+1)\pi }{2}}\right)}
n
l
(
x
)
≃
1
x
sin
(
x
−
(
l
+
1
)
π
2
)
{\displaystyle n_{l}(x)\simeq {\frac {1}{x}}\sin \left(x-{\frac {(l+1)\pi }{2}}\right)}
come si voleva.
Le prime funzioni di Hankel sferiche per la particella libera sono:
h
0
(
1
)
(
x
)
=
e
i
x
i
x
{\displaystyle h_{0}^{(1)}(x)={\frac {e^{ix}}{ix}}}
h
1
(
1
)
(
x
)
=
−
e
i
x
x
(
1
+
i
x
)
{\displaystyle h_{1}^{(1)}(x)=-{\frac {e^{ix}}{x}}\left(1+{\frac {i}{x}}\right)}
h
2
(
1
)
(
x
)
=
i
e
i
x
x
(
1
+
3
i
x
3
x
2
)
{\displaystyle h_{2}^{(1)}(x)={\frac {ie^{ix}}{x}}\left(1+{\frac {3i}{x}}{\frac {3}{x^{2}}}\right)}
Allora le funzioni radiali per la particella libera sono espresse:
R
k
,
l
(
1
)
(
r
)
=
2
k
h
1
(
l
)
(
k
r
)
{\displaystyle R_{k,l}^{(1)}(r)=2kh_{1}^{(l)}(kr)}
R
k
,
l
(
2
)
(
r
)
=
2
k
h
2
(
l
)
(
k
r
)
{\displaystyle R_{k,l}^{(2)}(r)=2kh_{2}^{(l)}(kr)}
e gli andamenti asintotici: per
x
→
∞
{\displaystyle x\to \infty }
h
l
(
1
)
(
x
)
≃
1
x
e
i
(
x
−
(
l
+
1
)
π
/
2
)
{\displaystyle h_{l}^{(1)}(x)\simeq {\frac {1}{x}}e^{i(x-(l+1)\pi /2)}}
h
l
(
2
)
(
x
)
≃
1
x
e
−
i
(
x
−
(
l
+
1
)
π
/
2
)
{\displaystyle h_{l}^{(2)}(x)\simeq {\frac {1}{x}}e^{-i(x-(l+1)\pi /2)}}
Così le funzioni radiali hanno comportamento asintotico:
R
k
,
l
(
1
)
≃
1
k
r
e
i
(
k
r
−
(
l
+
1
)
π
/
2
)
{\displaystyle R_{k,l}^{(1)}\simeq {\frac {1}{kr}}e^{i(kr-(l+1)\pi /2)}}
R
k
,
l
(
2
)
≃
1
k
r
e
−
i
(
k
r
−
(
l
+
1
)
π
/
2
)
{\displaystyle R_{k,l}^{(2)}\simeq {\frac {1}{kr}}e^{-i(kr-(l+1)\pi /2)}}
Mentre nell'origine
r
→
0
{\displaystyle r\to 0}
R
k
,
l
±
≃
(
2
l
−
1
)
!
!
k
l
r
−
l
−
1
{\displaystyle R_{k,l}^{\pm }\simeq {\frac {(2l-1)!!}{k^{l}}}r^{-l-1}}
^
Una possibile normalizzazione è fornita dalla rappresentazione di Fourier della Delta di Dirac
∫
−
∞
∞
d
x
ϕ
k
′
∗
(
x
)
ϕ
k
(
x
)
=
|
A
|
2
∫
−
∞
∞
d
x
e
i
(
k
−
k
′
)
x
=
2
π
|
A
|
2
δ
(
k
′
−
k
)
,
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\phi _{k^{\prime }}^{\ast }(x)\phi _{k}(x)=\vert A\vert ^{2}\int _{-\infty }^{\infty }dxe^{i(k-k^{\prime })x}=2\pi \vert A\vert ^{2}\delta (k^{\prime }-k),}
A
=
1
2
π
.
{\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}.}
L molto grande:
ϕ
k
(
x
+
L
)
=
ϕ
k
(
x
)
.
{\displaystyle \phi _{k}(x+L)=\phi _{k}(x).\ }
k
=
k
n
=
2
π
n
L
,
n
=
0
,
±
1
,
±
2
,
…
{\displaystyle k=k_{n}={\frac {2\pi n}{L}},\qquad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }
∫
−
L
/
2
L
/
2
d
x
ψ
k
m
∗
(
x
)
ψ
k
n
(
x
)
=
|
A
|
2
δ
n
m
.
{\displaystyle \int _{-L/2}^{L/2}dx\psi _{k_{m}}^{\ast }(x)\psi _{k_{n}}(x)=\vert A\vert ^{2}\,\delta _{nm}.}
A
=
1
L
{\displaystyle A={\sqrt {\frac {1}{L}}}}
B.H. Bransden & C.J. Joachain - Physics of atoms and molecules 
![{\displaystyle -{\frac {1}{2m}}\left[{\frac {\hbar ^{2}}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d}{dr}}\right)-{\frac {l(l+1)\hbar ^{2}}{r^{2}}}\right]\Psi _{k,l,m}=E\Psi _{k,l,m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c75dade7a46b5497b745e5641ace5ccd6a717344)
![{\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {\hbar ^{2}l(l+1)}{2mr^{2}}}\right]R_{k,l}(r)=ER_{k,l}(r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cf34fd2d240744bb948dd0eba223cb2628e877d)
