Poliedro monostabile

In geometria, un poliedro è detto monostabile (o unistabile) quando "rimane stabile se poggiato su una sola delle sue facce".

I poliedri monostabili furono studiati intorno al 1969 da John Conway, M. Goldberg e Richard Guy. Essi trovarono, per lo spazio in tre dimensioni, un poliedro monostabile con 19 facce; nel 2013 Alexander Reshetov è riuscito ad individuarne uno con sole 14 facce.

Diverse tartarughe, tra cui la tartaruga stellata indiana, hanno un guscio monostabile (Rehmeyer, 2007).

Definizione

Un poliedro di densità costante è detto monostabile quando si mantiene stabile se poggiato su una e una sola delle sue facce.

Alternativamente, si può dimostrare che esso è monostabile se una e solo una delle proiezioni ortogonali condotte dal baricentro verso le facce rimane all'interno della rispettiva faccia.

Alcune proprietà

• Nessun poligono nel piano è monostabile. Ciò è stato dimostrato da V. Arnold tramite l'applicazione del teorema dei quattro vertici.
• Non esistono simplessi monostabili nello spazio fino a 8 dimensioni. La dimostrazione per lo spazio a 3 dimensioni è dovuta a Conway. Per le dimensioni fino a 6 è dovuta a R. J. M. Dawson. Per le dimensioni 7 e 8 la non esistenza è stata dimostrata da R. J. M. Dawson, W. Finbow e P. Mak.
• Esistono simplessi monostabili per la dimensione 10 e superiori (R. J. M. Dawson).

Bibliografia

• J. H. Conway, M. Goldberg and R. K. Guy, Problem 66-12, SIAM Review 11 (1969), 78–82.
• H. Croft, K. Falconer, and R. K. Guy, Problem B12 in Unsolved Problems in Geometry, New York: Springer-Verlag, p. 61, 1991.
• R. J. M. Dawson, Monostatic simplexes., in American Mathematical Monthly 92 (1985), no. 8, 541–546.
• R. J. M. Dawson, W. Finbow, P. Mak, Monostatic simplexes. II, in Geom. Dedicata 70 (1998), 209–219.
• R. J. M. Dawson, W. Finbow, Monostatic simplexes. III, in Geom. Dedicata 84 (2001), 101–113.
• Igor Pak (UCLA,  Lectures on Discrete and Polyhedral Geometry

Voci correlate

• Misirizzi
• Gömböc

Collegamenti esterni

• (EN) Unistable Polyhedron su Wolfram Math-World
• Video YouTube:  Uni-stable polyhedron