Precessione di Larmor

In meccanica quantistica e fisica atomica, la precessione di Larmor, il cui nome è dovuto a Joseph Larmor, è la precessione dei momenti magnetici degli elettroni o dei nuclei atomici in un atomo attorno alla direzione di un campo magnetico esterno omogeneo.

Schematizzazione della precessione del nucleo atomico

Il campo magnetico $\mathbf {B}$ esercita un momento meccanico $\mathbf {M}$ dato dal prodotto vettoriale:

$\mathbf {M} =\mathbf {\mu } \times \mathbf {B} =\gamma \mathbf {L} \times \mathbf {B}$

dove $\mathbf {\mu }$ è il momento di dipolo magnetico, $\mathbf {L}$ è il momento angolare e $\gamma$ è il rapporto giromagnetico, che fornisce la costante di proporzionalità tra momento angolare e momento magnetico.

La precessione di Larmor fornisce un semplice modello teorico che permette di spiegare il diamagnetismo. Inoltre, ha un importante impiego tecnologico nella risonanza magnetica nucleare: per il nucleo di idrogeno, il più usato per questo scopo, il valore del rapporto giromagnetico $\gamma$ è di 42.5756*10^6 (rad/s)/T.

Frequenza di Larmor

Il vettore del momento angolare precede sull'asse del campo magnetico esterno con una frequenza angolare nota come frequenza di Larmor:

$\omega =-\gamma B$

La precessione

Il campo magnetico esercita un momento meccanico, producendo un moto giroscopico (come una trottola). La frequenza della precessione si dice frequenza di Larmor, e dipende dal campo di induzione magnetica $\mathbf {B}$ e dal momento magnetico $\mathbf {\mu } =\gamma \mathbf {L}$. Essa equivale a:

$\nu _{L}=-{\frac {\gamma B}{2\pi }}$

Il momento meccanico $\mathbf {M}$ cui è sottoposto un momento magnetico $\mathbf {\mu }$ in un campo di induzione magnetica omogeneo $\mathbf {B}$ è dato da:

$\mathbf {M} =\mathbf {\mu } \times \mathbf {B} =\gamma \mathbf {L} \times \mathbf {B} =-\gamma \mathbf {B} \times \mathbf {L}$

poiché in generale si può scrivere il momento magnetico come il prodotto del momento angolare $\mathbf {L}$ per il fattore giromagnetico $\gamma$:

$\mathbf {\mu } =\gamma \mathbf {L}$

In base alla seconda equazione cardinale il momento meccanico si può scrivere come:

$\mathbf {M} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}$

avendo supposto la velocità del polo nulla (l'atomo è fermo). La derivata di un vettore a modulo costante, come il momento angolare in questo caso, è:

$\mathbf {M} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {\omega } _{L}\times \mathbf {L}$

La velocità angolare $\mathbf {\omega } _{L}$ a cui il momento magnetico precede attorno alla direzione del campo è:

$\mathbf {\omega } _{L}=-\gamma \mathbf {B}$

e la rispettiva frequenza di Larmor:

$\nu _{L}={\frac {\omega _{L}}{2\pi }}=-{\frac {\gamma B}{2\pi }}$

Considerando una particella di carica $e$ di massa $m$, si ha:

$\omega ={\frac {egB}{2m}}$

dove $g$ è il fattore-g dell'oggetto considerato. Nel caso di un nucleo, esso tiene conto degli effetti dello spin dei nucleoni, del loro momento angolare orbitale e dell'accoppiamento tra di essi.

Precessione di Thomas

Un trattamento completo del fenomeno deve includere gli effetti della precessione di Thomas, in seguito ai quali la precedente equazione acquista un termine aggiuntivo:

$\omega _{s}={\frac {geB}{2mc}}+(1-\gamma ){\frac {eB}{mc\gamma }}$

dove $\gamma$ è il fattore di Lorentz. Per l'elettrone $g$ è molto vicino a 2 (2.002..), e ponendo $g=2$ si ha:

$\omega _{s(g=2)}={\frac {eB}{mc\gamma }}$

Equazione di Bargmann-Michel-Telegdi

La precessione dello spin di un elettrone in un campo magnetico omogeneo è descritta dall'equazione di Bargmann–Michel–Telegdi, detta talvolta equazione BMT:

${\frac {dA^{\tau }}{ds}}={\frac {e}{m}}U^{\tau }U_{\sigma }F^{\sigma \lambda }A_{\lambda }+2\mu (F^{\tau \lambda }-U^{\tau }U_{\sigma }F^{\sigma \lambda })A_{\lambda }$

dove $A^{\tau }$, $e$, $m$, e $\mu$ sono rispettivamente il quadrivettore di polarizzazione, carica, massa e momento magnetico, mentre $U^{\tau }$ è la quadrivelocità dell'elettrone e $F^{\tau \sigma }$ il tensore elettromagnetico. Inoltre:

$A^{\tau }A_{\tau }=-U^{\tau }U_{\tau }=-1\qquad U^{\tau }A_{\tau }=0$

Utilizzando l'equazione del moto:

$m{\frac {dU^{\tau }}{ds}}=eF^{\tau \sigma }U_{\sigma }$

si può riscrivere il primo termine nel membro a destra dell'equazione BMT come:

$(-U^{\tau }W^{\lambda }+U^{\lambda }W^{\tau })A_{\lambda }$

dove $W^{\tau }=dU^{\tau }/ds$ è la quadriaccelerazione. Questo termine descrive il trasporto di Fermi-Walker e conduce alla precessione di Thomas. Il secondo termine è invece associato alla precessione di Larmor.

Quando un campo elettromagnetico è uniforme nello spazio, o quando si possono trascurare forze come il gradiente $\nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}})$, il moto traslazionale della particella è descritto dalla relazione:

${dU^{\alpha } \over d\tau }={e \over m}F^{\alpha \beta }U_{\beta }$

L'equazione di Bargmann–Michel–Telegdi è allora riscritta nella forma:

${\;\,dS^{\alpha } \over d\tau }={e \over m}{\bigg [}{g \over 2}F^{\alpha \beta }S_{\beta }+\left({g \over 2}-1\right)U^{\alpha }\left(S_{\lambda }F^{\lambda \mu }U_{\mu }\right){\bigg ]}$

Se, invece, non potessimo trascurare quei termini di forza dati dal gradiente del campo, otterremmo:

${dS^{\alpha } \over d\tau }={ge \over 2m}{\bigg [}F^{\alpha \beta }S_{\beta }+U^{\alpha }(S_{\lambda }F^{\lambda \mu }U_{\mu }){\bigg ]}-U^{\alpha }(S_{\lambda }{dU^{\lambda } \over d\tau })$

Bibliografia

• (EN) Louis N. Hand and Janet D. Finch., Analytical mechanics, Cambridge, England, Cambridge University Press, 1998, p. 192, ISBN 978-0-521-57572-0.
• (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
• (EN) M. Conte, R. Jagannathan Archiviato il 2 febbraio 2017 in Internet Archive., S. A. Khan and M. Pusterla, Beam optics of the Dirac particle with anomalous magnetic moment, Particle Accelerators, 56, 99-126 (1996); (Preprint: IMSc/96/03/07, INFN/AE-96/08)

Voci correlate

• Campo magnetico
• Diamagnetismo
• Dipolo magnetico
• Giroscopio
• Momento angolare
• Momento magnetico
• Polarizzazione magnetica
• Risonanza magnetica nucleare

Collegamenti esterni

• Georgia State University HyperPhysics page on Larmor Frequency, su hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
• Larmor Frequency Calculator, su bio.groups.et.byu.net.