Primitiva (matematica)

In analisi matematica, si dice primitiva o antiderivata di una funzione $f$ una funzione derivabile $F$ la cui derivata è uguale alla funzione di partenza. Denotando con l'apice la derivata, $F'(x)=f(x)$. L'insieme di tutte le primitive di una funzione $f$ è detto integrale indefinito di $f$. Il calcolo della primitiva è strettamente legato alla risoluzione degli integrali definiti dal teorema fondamentale del calcolo integrale: infatti, l'integrale di una funzione, se esiste, è uguale alla differenza dei valori della primitiva sugli estremi di integrazione.

Tre primitive della funzione $f(x)=x^{2}-x-1$.

Definizione

Data una funzione $f\colon I\to \mathbb {R}$, definita su un intervallo $I\subset \mathbb {R}$, si definisce primitiva una funzione $F\colon I\to \mathbb {R}$ tale che

$F'(x)=f(x)$

per ogni $x\in I$.

Se $F$ è una primitiva di $f$, tutte e sole le primitive di $f$ sono nella forma $F(x)+C$, dove $C$ è una costante arbitraria reale.

L'integrale indefinito di $f$ è l'insieme di tutte le sue primitive. Esso si denota con il simbolo

$\int f(x)dx$

e se $F$ è una particolare primitiva di $f$, allora

$\int f(x)dx=F(x)+C$

al variare di $C\in \mathbb {R}$.

Principali primitive

Un metodo spesso utilizzato per calcolare le primitive di una funzione razionale è la decomposizione in fratti semplici. Per gli altri casi, alcune primitive molto frequenti sono esposte nel seguito:

$\int {x^{a}\,\mathrm {d} x}={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C\,\$	con $a\neq -1\,\$
$\int {{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x}=\ln {|x|}+C\,\$
$\int {\mathrm {e} ^{x}}\,\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{x}+C\,\$
$\int {a^{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C\,\$	con $a>0\,\$,$a\neq 1\,\$
$\int {\sin {x}}\,\mathrm {d} x=-\cos {x}+C\,\$
$\int {\cos {x}}\,\mathrm {d} x=\sin {x}+C\,\$
$\int {\tan {x}\,\mathrm {d} x}=-\ln {|\cos {x}|}+C\,\$
$\int {\cot {x}}\,\mathrm {d} x=\ln {|\sin {x}|}+C\,\$
$\int {\sinh {x}}\,\mathrm {d} x=\cosh {x}+C\,\$
$\int {\cosh {x}}\,\mathrm {d} x=\sinh {x}+C\,\$
$\int {\tanh {x}}\,\mathrm {d} x=\ln {(\cosh {x})}+C\,\$
$\int {\coth {x}}\,\mathrm {d} x=\ln {|(\sinh {x})|}+C\,\$
$\int {\frac {1}{(\cos {x})^{2}}}\,\mathrm {d} x=\tan {x}+C\,\$
$\int {\frac {1}{(\sin {x})^{2}}}\,\mathrm {d} x=-\cot {x}+C\,\$
$\int {\frac {1}{(\cosh {x})^{2}}}\,\mathrm {d} x=\tanh {x}+C\,\$
$\int {\frac {1}{(\sinh {x})^{2}}}\,\mathrm {d} x=-\coth {x}+C\,\$
$\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\arctan {x}+C\,\$
$\int {\frac {1}{1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}+C\,\$	con $|x|>1\,\$
$\int {\frac {1}{\sqrt[{}]{1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\arcsin {x}+C\,\$
$\int {\frac {1}{\sqrt[{}]{1+x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\ln {|x+{\sqrt[{}]{1+x^{2}}}|}+C\,\$
$\int {\frac {1}{\sqrt[{}]{x^{2}-1}}}\,\mathrm {d} x=\ln {|x+{\sqrt[{}]{x^{2}-1}}|}+C\,\$	con $|x|>1\,\$

Bibliografia

• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.
• (EN) Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also)
• (EN) Historical Essay On Continuity Of Derivatives, by Dave L. Renfro;

Voci correlate

• Derivata
• Integrale
• Teorema fondamentale del calcolo integrale

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• Wikizionario

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «primitiva»

Collegamenti esterni

• primitiva, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Wolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica
• (EN) Antiderivative calculator with step-by-step solutions Archiviato il 23 agosto 2013 in Internet Archive. — supports all common methods and rules of integration
• (EN) Mathematical Assistant on Web — symbolic computations online. Allows to integrate in small steps (with hints for next step (integration by parts, substitution, partial fractions, application of formulas and others), powered by Maxima

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