La formula prodotto di Eulero o più semplicemente il prodotto di Eulero è una formula dimostrata da Leonhard Euler nel 1737 .[ 1]
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
=
∏
p
primo
1
1
−
p
−
s
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
dove
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
funzione zeta di Riemann e il prodotto del secondo membro dell'uguaglianza percorre tutti i numeri primi .
Questa formula è interessante in quanto mette in relazione una serie in cui compaiono tutti i numeri naturali e un prodotto in cui compaiono tutti i numeri primi . È all'origine del collegamento tra funzione zeta di Riemann e numeri primi che si presenta nell'ipotesi di Riemann .
Partiamo dalla funzione zeta:
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
=
1
+
1
2
s
+
1
3
s
+
1
4
s
+
⋯
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }
se moltiplichiamo entrambi i termini per
1
2
s
{\displaystyle {\frac {1}{2^{s}}}}
1
2
s
ζ
(
s
)
=
1
2
s
+
1
4
s
+
1
6
s
+
1
8
s
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+\cdots }
Sottraendo la seconda espressione dalla prima:
(
1
−
1
2
s
)
ζ
(
s
)
=
1
+
1
3
s
+
1
5
s
+
1
7
s
+
⋯
{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+\cdots }
In questa serie non compaiono denominatori pari.
1
3
s
(
1
−
1
2
s
)
ζ
(
s
)
=
1
3
s
+
1
9
s
+
1
15
s
+
1
21
s
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{3^{s}}}\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}+{\frac {1}{21^{s}}}+\cdots }
Sottraendo l'ultima alla penultima espressione, abbiamo che:
(
1
−
1
3
s
)
(
1
−
1
2
s
)
ζ
(
s
)
=
1
+
1
5
s
+
1
7
s
+
1
11
s
+
⋯
{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+\cdots }
In questo procedimento abbiamo eliminato, prima tutti i multipli di due poi tutti i multipli del primo numero rimasto cioè tre, se poi lo facciamo di nuovo con cinque vedremo eliminati tutti i multipli di cinque:
(
1
−
1
5
s
)
(
1
−
1
3
s
)
(
1
−
1
2
s
)
ζ
(
s
)
=
1
+
1
7
s
+
1
11
s
+
1
13
s
+
⋯
{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+\cdots }
Stiamo progressivamente eliminando tutti i multipli di ogni numero rimasto dopo l'uno (e che quindi è un numero primo visto che non è multiplo di nessun altro numero più piccolo). I numeri del prodotto prima dell'uguale quindi saranno tutti primi.
Quindi ripetendo infinite volte il procedimento:
⋯
(
1
−
1
11
s
)
(
1
−
1
7
s
)
(
1
−
1
5
s
)
(
1
−
1
3
s
)
(
1
−
1
2
s
)
ζ
(
s
)
=
1
{\displaystyle \cdots \left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1}
E in conclusione:
ζ
(
s
)
=
1
(
1
−
1
2
s
)
1
(
1
−
1
3
s
)
1
(
1
−
1
5
s
)
1
(
1
−
1
7
s
)
⋯
=
∏
p
1
1
−
p
−
s
{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)}}\cdots =\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
Q.E.D
si può considerare il termine
1
1
−
p
−
s
{\displaystyle {\frac {1}{1-p^{-s}}}}
come il numero a cui converge la serie geometrica
∑
n
=
0
∞
1
(
p
s
)
n
=
1
+
1
p
s
+
1
p
2
s
+
1
p
3
s
+
1
p
4
s
+
⋯
=
1
1
−
p
−
s
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(p^{s})^{n}}}=1+{\frac {1}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s}}}+{\frac {1}{p^{3s}}}+{\frac {1}{p^{4s}}}+\cdots ={\frac {1}{1-p^{-s}}}}
Quindi il prodotto di Eulero diviene:
∏
p
1
1
−
p
−
s
=
(
1
+
1
2
s
+
1
2
2
s
+
1
2
3
s
+
⋯
)
(
1
+
1
3
s
+
1
3
2
s
+
1
3
3
s
+
⋯
)
(
1
+
1
5
s
+
1
5
2
s
+
1
5
3
s
+
⋯
)
⋯
{\displaystyle \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\left(1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{2^{2s}}}+{\frac {1}{2^{3s}}}+\cdots \right)\left(1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{3^{2s}}}+{\frac {1}{3^{3s}}}+\cdots \right)\left(1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{5^{2s}}}+{\frac {1}{5^{3s}}}+\cdots \right)\cdots }
E svolgendolo
∏
p
1
1
−
p
−
s
=
(
1
+
1
(
1
⋅
2
)
s
+
1
(
1
⋅
3
)
s
+
1
(
1
⋅
5
)
s
+
⋯
)
+
(
1
(
1
⋅
2
2
)
s
+
1
(
1
⋅
3
2
)
s
+
1
(
1
⋅
5
2
)
s
+
⋯
)
+
⋯
{\displaystyle \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\left(1+{\frac {1}{(1\cdot 2)^{s}}}+{\frac {1}{(1\cdot 3)^{s}}}+{\frac {1}{(1\cdot 5)^{s}}}+\cdots \right)+\left({\frac {1}{(1\cdot {2^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{(1\cdot {3^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{(1\cdot {5^{2}})^{s}}}+\cdots \right)+\cdots }
+
(
1
(
2
⋅
3
)
s
+
1
(
2
⋅
5
)
s
+
1
(
2
⋅
7
)
s
+
⋯
)
+
(
1
(
2
2
⋅
3
2
)
s
+
1
(
2
2
⋅
5
2
)
s
+
1
(
2
2
⋅
7
2
)
s
+
⋯
)
+
⋯
{\displaystyle +\left({\frac {1}{(2\cdot 3)^{s}}}+{\frac {1}{(2\cdot 5)^{s}}}+{\frac {1}{(2\cdot 7)^{s}}}+\cdots \right)+\left({\frac {1}{({2^{2}}\cdot {3^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{({2^{2}}\cdot {5^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{({2^{2}}\cdot {7^{2}})^{s}}}+\cdots \right)+\cdots }
+
(
1
(
3
⋅
5
)
s
+
1
(
3
⋅
7
)
s
+
1
(
3
⋅
11
)
s
+
⋯
)
+
(
+
1
(
3
2
⋅
5
2
)
s
+
1
(
3
2
⋅
7
2
)
s
+
1
(
3
2
⋅
11
2
)
s
+
⋯
)
+
⋯
{\displaystyle +\left({\frac {1}{(3\cdot 5)^{s}}}+{\frac {1}{(3\cdot 7)^{s}}}+{\frac {1}{(3\cdot 11)^{s}}}+\cdots \right)+\left(+{\frac {1}{({3^{2}}\cdot {5^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{({3^{2}}\cdot {7^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{({3^{2}}\cdot {11^{2}})^{s}}}+\cdots \right)+\cdots }
È chiaro che nel termine a destra dell'uguale appariranno prima o poi tutte le possibili combinazioni di numeri primi possibili (e a qualsiasi potenza). Per il teorema fondamentale dell'aritmetica abbiamo che queste combinazioni forniscono tutti i numeri naturali. Possiamo dunque riordinare i termini così:
∏
p
1
1
−
p
−
s
=
1
+
1
2
s
+
1
3
s
+
1
4
s
+
⋯
{\displaystyle \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }
Quindi:
∏
p
1
1
−
p
−
s
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
{\displaystyle \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}
Q.E.D
Tramite questa formula Eulero diede una dimostrazione dell'infinità dei numeri primi. Infatti se si inserisce nella formula il numero 1 si ha:
∑
n
=
1
∞
1
n
=
∏
p
1
1
−
p
−
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}}
E siccome la somma nel primo membro è la serie armonica , che diverge, anche il prodotto deve farlo. Ma ciò è possibile solo se i suoi membri sono infiniti e quindi se esistono infiniti numeri primi.
Attraverso le dimostrazioni si può generalizzare questa formula per ogni funzione moltiplicativa a(x) :
∑
n
a
(
n
)
n
s
=
∏
p
P
(
p
,
s
)
{\displaystyle \sum _{n}{\frac {a(n)}{n^{s}}}\ =\prod _{p}P(p,s)\ }
Dove P(p,s) è la serie :
1
+
a
(
p
)
p
−
s
+
a
(
p
2
)
p
−
2
s
+
⋯
.
{\displaystyle 1+a(p)p^{-s}+a(p^{2})p^{-2s}+\cdots .}
Moltissime funzioni possono essere espresse con il prodotto di Eulero. Queste funzioni danno origine a prodotti molto simili a quello sopra illustrato per la funzione zeta di Riemann . Capita dunque di trovare collegamenti tra queste serie di funzioni e la funzione zeta. Ad esempio:
Il prodotto di Eulero per la funzione di Moebius
μ
(
n
)
{\displaystyle \mu (n)}
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
n
−
s
=
∏
p
(
1
−
p
−
s
)
=
1
ζ
(
s
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)n^{-s}=\prod _{p}(1-p^{-s})={\frac {1}{\zeta (s)}}}
E quello per il suo valore assoluto :
∑
n
=
1
∞
|
μ
(
n
)
|
n
−
s
=
∏
p
(
1
+
p
−
s
)
=
ζ
(
s
)
ζ
(
2
s
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|\mu (n)|n^{-s}=\prod _{p}(1+p^{-s})={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}}
Il prodotto per la funzione di Liouville :
∑
n
=
1
∞
λ
(
n
)
n
−
s
=
∏
p
(
1
+
p
−
s
)
−
1
=
ζ
(
2
s
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)n^{-s}=\prod _{p}(1+p^{-s})^{-1}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}}
E altri che utilizzano la funzione zeta come:
∑
n
=
1
∞
2
ω
(
n
)
n
−
s
=
∏
p
(
1
+
p
−
s
1
−
p
−
s
)
=
ζ
(
s
)
2
ζ
(
2
s
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{\omega (n)}n^{-s}=\prod _{p}{\Big (}{\frac {1+p^{-s}}{1-p^{-s}}}{\Big )}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}}
Dove
ω
(
n
)
{\displaystyle \omega (n)}
fattori primi distinti di n
E anche
∑
n
=
1
∞
σ
(
n
)
n
s
=
ζ
(
s
)
ζ
(
s
−
1
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-1)}
dove
σ
(
n
)
{\displaystyle \sigma (n)}
divisori di
n
{\displaystyle n}
1
{\displaystyle 1}
n
{\displaystyle n}
(EN Introduction to Analytic Number Theory , New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90163-9 . John Derbyshire, L'ossessione dei numeri primi , Bollati Boringhieri, 2006, ISBN 88-339-1706-1
Eulero, prodotto di Enciclopedia della Matematica , Istituto dell'Enciclopedia Italiana , 2013. (EN Opere riguardanti Euler products Open Library Internet Archive . (EN Euler Product MathWorld (EN Euler product Encyclopaedia of Mathematics 
