Fattoriale crescente di base q

In matematica, nel campo della combinatoria, si dice fattoriale crescente di base q nella x relativo a $\infty$ la serie

$(x;q)_{\infty }:=\prod _{k=0}^{\infty }(1-q^{k}x),$

per le variabili complesse x e q; se si pongono problemi di convergenza chiediamo che sia |q|<1.

Si dice invece fattoriale crescente di base q nella x relativo al numero complesso n

$(x;q)_{n}:={\frac {(x;q)_{\infty }}{(q^{n}x;q)_{\infty }}}$

Se n è un intero naturale

$(x;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-q^{k}x)=(1-x)(1-xq)(1-xq^{2})\cdots (1-xq^{n-1})$

Risulta quindi individuata una famiglia di successioni di polinomi nella x parametrizzata da q che inizia con i seguenti componenti:

$(x;q)_{0}=1$

$(x;q)_{1}=1-x$

$(x;q)_{2}=(1-x)(1-qx)=1-(1+q)x+qx^{2}\qquad$

$\,(x;q)_{3}=(1-x)(1-qx)(1-q^{2}x)=1-(1+q+q^{2})x+(q+q^{2}+q^{3})x^{2}-q^{3}x^{3}\,$

Questi polinomi (formali) sono chiamati anche q-fattoriali crescenti, q-simboli di Pochhammer e simboli di Pochhammer di base q. Essi sono ampiamente utilizzati nelle formule esprimenti proprietà delle serie ipergeometriche di base q.

Notazione con argomenti multipli

Dato che le identità che coinvolgono i q-simboli di Pochhammer spesso contengono il prodotto di più simboli, convenzionalmente si scrive un prodotto come un unico simbolo con argomenti multipli:

$(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m};q)_{n}=(x_{1};q)_{n}(x_{2};q)_{n}\ldots (x_{m};q)_{n}.$

Bibliografia

• George Gasper, Mizan Rahman (1990): Basic hypergeometric series, Cambridge University Press, ISBN 0521350492
• Roelof Koekoek e Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, sezione 0.2.

Voci correlate

• Fattoriale crescente
• Funzioni theta di Jacobi

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Fattoriale crescente di base q, su MathWorld, Wolfram Research.