Q-serie ipergeometrica

In matematica, le q-serie ipergeometriche, chiamate anche serie ipergeometriche basiche, sono generalizzazioni q-analoghe delle serie ipergeometriche ordinarie. Si definiscono comunemente due tipi di q-serie, le q-serie ipergeometriche unilaterali e le q-serie ipergeometriche bilaterali.

La terminologia viene stabilita in analogia con quella delle serie ipergeometriche ordinarie. Una serie ordinaria $\sum _{n}x_{n}$ viene detta serie ipergeometrica (ordinaria) se il rapporto fra termini successivi $x_{n+1}/x_{n}$ è una funzione razionale di n. Se invece il rapporto fra termini successivi è una funzione razionale di $q^{n}$, la serie corrispondente viene detta q-serie ipergeometrica.

Le q-serie ipergeometriche sono state analizzate per la prima volta da Eduard Heine nel XIX secolo, al fine di individuare caratteristiche comuni alle funzioni teta di Jacobi e alle funzioni ellittiche.

Definizione

Si definisce q-serie ipergeometrica unilaterale in 2 k + 1 parametri e nella variabile z

$\;_{k+1}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{0},&a_{1},&a_{2},&\ldots ,&a_{k}\\&b_{1},&b_{2},&\ldots ,&b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(q,b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}$

dove

$(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}$

è il q-fattoriale crescente.

La q-serie ipergeometrica bilaterale in 2 k parametri e nella variabile z viene definita come

$\;_{k}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1},&a_{2},&\ldots ,&a_{k}\\b_{1},&b_{2},&\ldots ,&b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}$ .

Semplici esempi

Alcuni semplici esempi di queste serie includono

${\frac {z}{1-q}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q,&q\\&q^{2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots$ ,

${\frac {z}{1-q^{1/2}}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q,&q^{1/2}\\&q^{3/2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots$

e

$\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q,&-1\\&-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3}}}+\ldots$

Semplici identità

Tra le identità più semplici segnaliamo

$\;_{1}\phi _{0}(a;q,z)=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aq^{n}z}{1-q^{n}z}}$

e

$\;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {1-az}{1-z}}\;_{1}\phi _{0}(a;q,qz)$

Il caso particolare relativo ad $a=0$ è strettamente collegato alla funzione q-esponenziale.

Identità di Ramanujan

Ramanujan ha scoperto l'identità

$\;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}={\frac {(b/a;q)_{\infty }\;(q;q)_{\infty }\;(q/az;q)_{\infty }\;(az;q)_{\infty }}{(b;q)_{\infty }\;(b/az;q)_{\infty }\;(q/a;q)_{\infty }\;(z;q)_{\infty }}}$

valida per $|q|<1$ e $|b/a|<|z|<1$. Una fondamentale identità simile alla precedente concernente $\,_{6}\psi _{6}$ è stata data da Bailey. Si è capito che tale identità è una generalizzazione del teorema del triplo prodotto di Jacobi, il quale può essere scritto mediante la q-serie come

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(n+1)/2}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty }$ .

Inoltre questa identità generalizza anche una analoga identità concernente un prodotto quintuplo.

Ken Ono propone una serie formale di potenze collegata

$A(z;q)={\frac {1}{1+z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z;q)_{n}}{(-zq;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}q^{n^{2}}.$

Q-serie ipergeometrica generalizzata

In generale, seguendo Gasper e Rahman, si definisce q-serie ipergeometrica unilaterale secondo Gasper in r + s + 1 parametri e nella variabile z

$\;_{r+1}\phi _{s}\left[{\begin{matrix}a_{0},&a_{1},&a_{2},&\ldots ,&a_{r}\\&b_{1},&b_{2},&\ldots ,&b_{s}\end{matrix}};q,z\right]:\!=\sum _{n=0}^{\infty }\{(-1)^{n}q^{n \choose 2}\}^{s-r}{\frac {(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r};q)_{n}}{(q,b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s};q)_{n}}}z^{n}$

Bibliografia

• Eduard Heine, Theorie der Kugelfunctionen, (1878) 1, pp 97-125.
• Eduard Heine, Handbuch der Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlin.
• W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
• Chu WenChang (1998): Basic Almost-Poised Hypergeometric Series, Memoirs of the American Mathematical Society, N. 642, ISBN 0-8218-0811-7.
• THomas Ernst (2001): Licentiate Thesis: The history of the q-calculus and a new method (University of Uppsala)
• W. Chu, L. Di Claudio (2004): Classical Partition Identities and Basic Hypergeometric Series Quaderni del Dipartimento di Matematica dell'Università di Lecce.
• Gwynneth H. Coogan and Ken Ono, A q-series identity and the Arithmetic of Hurwitz Zeta Functions, (2003) Proceedings of the American Mathematical Society 131, pp. 719-724
• George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
• Sylvie Corteel and Jeremy Lovejoy, Frobenius Partitions and the Combinatorics of Ramanujan's $\,_{1}\psi _{1}$ Summation, (senza data)