Spostamento verso il rosso cosmologico

Lo spostamento verso il rosso cosmologico (detto anche redshift cosmologico) è lo spostamento relativo in frequenza di un'onda elettromagnetica dovuto all'espansione dell'universo. Inizialmente lo spostamento verso il rosso veniva attribuito all'effetto Doppler,^[1] tramite la relazione

z\approx {\frac {v_{r}}{c}}

ma l'osservazione sperimentale di alcuni quasar caratterizzati da uno spostamento verso il rosso compreso tra 5 e 6 ha smentito tale ipotesi. L'approssimazione del redshift come effetto Doppler è valida solo se $z\ll 1$ .^[2] Il redshift cosmologico si spiega ipotizzando che le lunghezze d'onda varino allo stesso modo delle distanze per effetto dell'espansione dell'universo.^[3] Ciò è verificato dal teorema del redshift.

Ipotesi

Supponiamo che l'universo si stia espandendo,^[4] e che tutte le distanze varino secondo un fattore di scala $a(t)$ per cui possiamo ipotizzare

D=a(t)r

dove $r$ è la coordinata comovente, ovvero un tipo di coordinata che segue punto per punto l'espansione dell'universo.

Teorema del redshift

Il teorema del redshift afferma che la lunghezza d'onda $\lambda$ è proporzionale al fattore di scala dell'universo.^[5]

Consideriamo la metrica di Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker^[6]^[7]

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-a^{2}(t)\left[{\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}d\phi ^{2})\right]

dove $k$ è il parametro che identifica i tre diversi modelli di Friedman. Ora supponiamo di osservare un quasar posto ad una distanza comovente $r_{1}$ dalla terra (che assumiamo posta nel punto $r=0$ ) e sotto i due angoli costanti $\theta$ e $\varphi$ . In tali condizioni la metrica si riduce a

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-a^{2}(t){\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}

ora considerando che stiamo osservando un'onda elettromagnetica dobbiamo porre $ds^{2}=0$ ottenendo

{\frac {dt}{a(t)}}=-{\frac {dr}{\sqrt {1-kr^{2}}}}\qquad \quad (1)

(si osservi che c è stata posta uguale ad 1, ed il segno meno è dovuto al fatto che, al crescere di t, r diminuisce, in quanto l'onda elettromagnetica si avvicina alla terra con il passare del tempo).

Ci conviene ora considerare due creste consecutive dell'onda elettromagnetica: la prima emessa ad un tempo $t_{1}$ e ricevuta ad un tempo $t_{0}$ , e la seconda emessa ad un tempo $t_{1}+\delta t_{1}$ e ricevuta ad un tempo $t_{0}+\delta t_{0}$ .

Integrando la (1) per le due creste separatamente otteniamo

\int _{t_{1}}^{t_{0}}{\frac {dt}{a(t)}}=\int _{0}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {1-kr^{2}}}}\equiv F(r_{1})

\int _{t_{1}+\delta t_{1}}^{t_{0}+\delta t_{0}}{\frac {dt}{a(t)}}=\int _{0}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {1-kr^{2}}}}\equiv F(r_{1})

Dal momento che gli integrali al secondo membro sono uguali possiamo eguagliare gli integrali al primo membro delle due espressioni:

\int _{t_{1}}^{t_{0}}{\frac {dt}{a(t)}}=\int _{t_{1}+\delta t_{1}}^{t_{0}+\delta t_{0}}{\frac {dt}{a(t)}}

\int _{t_{1}}^{t_{0}}{\frac {dt}{a(t)}}=\int _{t_{1}}^{t_{0}}{\frac {dt}{a(t)}}+\int _{t_{0}}^{t_{0}+\delta t_{0}}{\frac {dt}{a(t)}}-\int _{t_{1}}^{t_{1}+\delta t_{1}}{\frac {dt}{a(t)}}

\int _{t_{0}}^{t_{0}+\delta t_{0}}{\frac {dt}{a(t)}}=\int _{t_{1}}^{t_{1}+\delta t_{1}}{\frac {dt}{a(t)}}

A questo punto consideriamo il fatto che la variazione del fattore di scala è molto lenta nel tempo $({\dot {a}}/a\ll 1)$ . Possiamo considerare il fattore di scala costante sia durante l'emissione delle due creste, sia durante la ricezione, e ottenere