Separazione delle variabili

In matematica, per separazione delle variabili o metodo di Fourier si intende una strategia risolutiva per equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali in cui è possibile riscrivere l'equazione in modo che due date variabili compaiano l'una al membro di destra e l'altra al membro di sinistra dell'equazione.

Equazioni differenziali ordinarie

Si supponga che un'equazione differenziale ordinaria (ODE) si possa scrivere nella forma:

${\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y)$

con $y=f(x)$. Se $h(y)\neq 0$ si possono riordinare i termini:

$\int {dy \over h(y)}=\int {g(x)dx}$

in modo che le variabili $x$ e $y$ siano separate ognuna in uno dei due membri.

Una delle equazioni più significative a cui si applica il metodo è $y'=ay$, la crescita esponenziale.

Esempio

La crescita di una popolazione è spesso modellata da un'equazione differenziale del tipo:

${\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)$

dove $P$ è la popolazione in funzione del tempo $t$, $k$ è il suo tasso di crescita e $K$ è la capacità portante dell'ambiente. Riordinando i termini e integrando:

$\int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt$

Per valutare l'integrale a sinistra si semplifica la frazione:

${\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}={\frac {K}{P\left(K-P\right)}}$

e quindi la si decompone in fratti semplici:

${\frac {K}{P\left(K-P\right)}}={\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}$

Si ha quindi:

$\int \left({\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}\right)\,dP=\int k\,dt$

Uguagliando gli integrandi:

$\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}=kt+C$

da cui:

$\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}=-kt-C$

per le proprietà dei logaritmi:

$\ln {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=-kt-C$

Si ha:

${\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-kt-C}=e^{-C}e^{-kt}$

e quindi:

${\frac {K-P}{P}}=\pm e^{-C}e^{-kt}$

Sia $A=\pm e^{-C}$. Allora:

${\frac {K-P}{P}}=Ae^{-kt}$

che si può riscrivere:

${\frac {K}{P}}-1=Ae^{-kt}$

da cui si ricava:

$P={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}$

Quindi la soluzione all'equazione logistica è:

$P\left(t\right)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}$

Per trovare $A$, sia $t=0$ e $P\left(0\right)=P_{0}$. Si ha:

$P_{0}={\frac {K}{1+Ae^{0}}}$

Notando che $e^{0}=1$, risolvendo per $A$ si ha:

$A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}$

Equazioni alle derivate parziali

Il metodo è utilizzato per affrontare un grande numero di equazioni differenziali alle derivate parziali, come l'equazione delle onde, l'equazione del calore, l'equazione di Laplace o l'equazione di Helmholtz.

Caso omogeneo

Data l'equazione della diffusione in una dimensione:

${\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$

con condizione al contorno:

$u{\big |}_{x=0}=u{\big |}_{x=L}=0$

si cerca di trovare una soluzione $u$ non identicamente nulla che soddisfa le condizioni al contorno e tale che sia un prodotto in cui la dipendenza da $x$ e $t$ è separata, ovvero:

$u(x,t)=X(x)T(t)$

Sostituendo $u$ nell'equazione e usando la regola del prodotto:

${\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}$

Dato che il membro alla destra dipende solo da $x$ e quello alla sinistra solo da $t$, entrambi sono uguali ad una qualche costante $-\lambda$:

$T'(t)=-\lambda \alpha T(t)\qquad X''(x)=-\lambda X(x)$

dove $-\lambda$ è autovalore di entrambi gli operatori differenziali, con $T(t)$ e $X(x)$ le rispettive autofunzioni.

Per mostrare che non vi sono soluzioni per $\lambda \leq 0$, si osserva inizialmente che per $\lambda <0$ esistono due numeri reali $B$ e $C$ tali che:

$X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}$

Utilizzando le condizioni al contorno si ha che $X(0)=0=X(L)$, da cui si ha $B=0=C$, che implica che $u$ è nulla. Supponendo $\lambda =0$, del resto, in tal caso esistono due numeri reali $B$ e $C$ tali che:

$X(x)=Bx+C$

Dal fatto che $X(0)=0=X(L)$ si conclude in modo analogo che $u$ è nulla. Quindi, deve essere $\lambda >0$, ed esistono $A$, $B$ e $C$ tali che:

$T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t}\qquad X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x)$

Sfruttando nuovamente $X(0)=0=X(L)$, si ha $C=0$ e che per qualche intero positivo $n$ si verifica:

${\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}$

Questo risolve l'equazione nel caso in cui la dipendenza di $u$ ha la forma $u(x,t)=X(x)T(t)$. In generale, la somma di soluzioni all'equazione del calore che soddisfano le condizioni al contorno sono soluzioni che soddisfano anche questo caso particolare, e quindi una soluzione completa è data da:

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}\exp \left(-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}\right)$

dove $D_{n}$ sono coefficienti determinati dalla condizione iniziale.

Se la condizione iniziale è:

$u{\big |}_{t=0}=f(x)$

si ottiene:

$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}$

che è l'espansione in serie di seni di $f(x)$. Moltiplicando ambo i membri per $\sin(n\pi x/L)$ e integrando nell'intervallo $[0,L]$ si ha:

$D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx$

Questo metodo richiede che le autofunzioni di $x$, che in tal caso sono:

$\left\{\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right\}_{n=1}^{\infty }$

siano ortogonali e siano una base completa. Ciò è garantito in generale dalla teoria di Sturm-Liouville.

Caso non omogeneo

Si consideri l'equazione non omogenea:

${\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=h(x,t)$

con le medesime condizioni iniziali di quella omogenea. Le funzioni $h(x,t)$, $u(x,t)$ e $f(x,t)$ possono essere espanse in serie di seni:

$h(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }h_{n}(t)\sin {\frac {n\pi x}{L}}$

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(t)\sin {\frac {n\pi x}{L}}$

$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}$

dove $h_{n}(t)$ e $b_{n}$ possono essere calcolati per integrazione, mentre $u_{n}(t)$ deve essere determinato. Sostituendo le espansioni di $h_{n}(t)$ e $u_{n}(t)$ nell'equazione non omogenea e considerando l'ortogonalità delle funzioni seno si ottiene:

$u'_{n}(t)+\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}u_{n}(t)=h_{n}(t)$

che è una successione di equazioni differenziali lineari che possono essere risolte facilmente con alcuni metodi quali il fattore di integrazione o la trasformata di Laplace. Alla fine si ottiene:

$u_{n}(t)=e^{-\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}t}\left(b_{n}+\int _{0}^{t}h_{n}(s)e^{\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}s}\,ds\right)$

Il metodo può essere utilizzato anche per coordinate curvilinee ortogonali, anche se con alcune differenze rispetto alle coordinate cartesiane.

Software

Xcas: split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

Bibliografia

• (EN) Andrei D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton, Chapman & Hall/CRC Press, 2002, ISBN 1-58488-299-9.
• (EN) Tyn Myint-U, Lokenath Debnath, Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Boston, MA, 2007, ISBN 978-0-8176-4393-5. URL consultato il 29 marzo 2011.
• (EN) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Graduate Studies in Mathematics, vol. 140, Providence, RI, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0.

Voci correlate

• Equazione differenziale alle derivate parziali
• Equazione differenziale ordinaria
• Equazione logistica
• Metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie

Collegamenti esterni

• (EN) separation of variables, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Separazione delle variabili, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Separazione delle variabili, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) Methods of Generalized and Functional Separation of Variables at EqWorld: The World of Mathematical Equations
• (EN) Examples of separating variables to solve PDEs
• (EN) "A Short Justification of Separation of Variables" (PDF), su math-cs.gordon.edu.