Sequenza di Farey

In matematica, la sequenza di Farey $F_{n}$ è una sequenza, per ogni numero naturale positivo $n$, definita come l'insieme ordinato secondo l'ordine crescente di tutti i numeri razionali irriducibili (cioè tali che numeratore e denominatore siano coprimi) espressi sotto forma di frazione con numeratore e denominatore compresi tra zero e $n$. Ad esempio

$F_{1}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{1}}\right\}$

$F_{2}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{2}};{\frac {1}{1}}\right\}$

$F_{3}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{3}};{\frac {1}{2}};{\frac {2}{3}};{\frac {1}{1}}\right\}$

$F_{4}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{4}};{\frac {1}{3}};{\frac {1}{2}};{\frac {2}{3}};{\frac {3}{4}};{\frac {1}{1}}\right\}$

$F_{5}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{5}};{\frac {1}{4}};{\frac {1}{3}};{\frac {2}{5}};{\frac {1}{2}};{\frac {3}{5}};{\frac {2}{3}};{\frac {3}{4}};{\frac {4}{5}};{\frac {1}{1}}\right\}$

Per i numeratori, sequenza A006842 dell'OEIS, sequenza A006843 per i denominatori.

Proprietà

• Ciascuna sequenza ha un numero dispari di termini, per ogni $n>1$, e il termine centrale è sempre ${\frac {1}{2}}$.

• Ciascuna sequenza è "simmetrica" rispetto al termine centrale ${\frac {1}{2}}$: per ogni termine ${\frac {n}{d}}$ della sequenza ne esiste anche uno pari a ${\frac {d-n}{d}}$

• Dati due termini consecutivi di una sequenza ${\frac {p_{i}}{q_{i}}},{\frac {p_{i+1}}{q_{i+1}}}$ abbiamo che

$p_{i+1}\cdot q_{i}-p_{i}\cdot q_{i+1}=1$

• Dati tre termini consecutivi di una sequenza ${\frac {p_{i-1}}{q_{i-1}}},{\frac {p_{i}}{q_{i}}},{\frac {p_{i+1}}{q_{i+1}}}$ abbiamo che

${\frac {p_{i}}{q_{i}}}={\frac {(p_{i-1}+p_{i+1})}{(q_{i-1}+q_{i+1})}}\,$

Di conseguenza, data la successione $F_{n}$, il primo termine a comparire tra due generici ${\frac {a}{c}}$ e ${\frac {b}{d}}$in una sequenza $F_{m}$, con $m>n$, è la frazione mediana

${\frac {a+b}{c+d}}$

• Definito come $N(n)\,$ il numero di termini della sequenza di Farey $F_{n}\,$, abbiamo che

$N(n)=1+\sum _{k=1}^{n}\phi (k)\,$

Dove $\phi (k)\,$ è la funzione phi di Eulero.

Voci correlate

• John Farey
• Frazione (matematica)

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Sequenza di Farey, su MathWorld, Wolfram Research.

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