Sistema tempo-invariante

Un sistema tempo-invariante o sistema stazionario, talvolta abbreviato in TIV (dall'acronimo inglese Time-Invariant System), è un sistema dinamico in cui l'uscita non dipende esplicitamente dal tempo. I sistemi tempo-invarianti sono descritti matematicamente da equazioni autonome e dalla funzione di trasferimento, e sono caratterizzati dal fatto che se un ingresso $x(t)$ produce l'uscita $y(t)$ allora per ogni ingresso traslato $x(t+\delta )$ si ha un'uscita traslata dello stesso fattore $y(t+\delta )$.

Tra i sistemi stazionari maggiormente studiati ci sono quelli lineari.

Definizione

Si consideri l'operatore di traslazione $\mathbb {T} _{r}$ che trasla $x=x(t)$ di un fattore $r$. Per esempio, se $r=1$ l'azione di $\mathbb {T} _{1}$ è:

${\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}x=x(t+1)=\,\!\delta (t+1)*x(t)\qquad \forall \,t\in \mathbb {R}$

Se si rappresenta il sistema attraverso un operatore $\mathbb {H}$, il sistema è tempo-invariante se $\mathbb {H}$ commuta con l'operatore di traslazione:

$\mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} =\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\qquad \forall r$

In altri termini, il sistema:

$y=\mathbb {H} x$

è tempo-invariante se applicando prima $\mathbb {H}$ su $x$:

$\mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} x=\mathbb {T} _{r}y=y_{r}$

oppure applicando prima $\mathbb {T} _{r}$:

$\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}x=\mathbb {H} \,x_{r}$

si ottiene il medesimo risultato:

$\mathbb {H} x_{r}=y_{r}$

ovvero l'ordine con cui agiscono i due operatori non cambia la loro azione complessiva.

Voci correlate

• Finite impulse response
• Operatore di shift
• Sistema autonomo (matematica)
• Sistema dinamico lineare stazionario