Sommazione per parti

In matematica, la sommazione per parti, anche chiamata trasformazione (o lemma) di Abel, è un procedimento che permette di scrivere in un altro modo la somma (finita o infinita) del prodotto di due successioni, consentendo così di avere una stima sul comportamento della serie in termini di convergenza.

Enunciato del lemma

Siano $\{a_{n}\}$ e $\{b_{n}\}$ due successioni, e sia

$A_{n}=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}}$

la somma parziale $n$-esima di $\{a_{n}\}$, e si ponga $A_{-1}=0$. Vale allora l'eguaglianza:

$\sum _{i=m}^{n}{a_{i}b_{i}}=A_{n}b_{n}-A_{m-1}b_{m}+\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}(b_{i}-b_{i+1})}$.

Una formulazione equivalente può essere espressa con l'operatore differenza in avanti $\Delta {b_{n}}:=b_{n+1}-b_{n}$:

$\sum _{i=m}^{n}{b_{i}\Delta {A_{i-1}}}=A_{n}b_{n}-A_{m-1}b_{m}-\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}\Delta {b_{i}}}$,

che evidenzia l'analogia tra questa formula e quella di integrazione per parti:

$\int _{a}^{b}{f(x)d(g(x))}=g(b)f(b)-g(a)f(a)-\int _{a}^{b}{g(x)d(f(x))}$.

Dimostrazione

La dimostrazione fa uso soltanto di operazioni algebriche, il che rende la formula valida in qualunque campo. Il lemma continua a valere anche quando una successione abbia elementi in uno spazio vettoriale sul campo ${\mathcal {K}}$, e l'altra in ${\mathcal {K}}$.

Per la definizione di $\{A_{n}\}$, si ha:

$\sum _{i=m}^{n}{a_{i}b_{i}}=\sum _{i=m}^{n}{(A_{i}-A_{i-1})b_{i}}=\sum _{i=m}^{n}{A_{i}b_{i}}-\sum _{i=m-1}^{n-1}{A_{i}b_{i+1}}=$

$=\left(A_{n}b_{n}+\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}b_{i}}\right)-\left(\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}b_{i+1}}+A_{m-1}b_{m}\right)=A_{n}b_{n}-A_{m-1}b_{m}+\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}(b_{i}-b_{i+1})}$,

cioè la tesi, Q.E.D.

Teoremi derivati

Criterio di Dirichlet per le serie

Il lemma di Abel viene usato per provare il criterio di Dirichlet per la convergenza di serie.

Criterio di Leibniz per le serie

Il criterio di Leibniz può essere dimostrato in modo elementare come corollario del criterio di Dirichlet.

Bibliografia

• (EN) W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, A. A. Arthur, S. L. Langman, 1976, p. 70, ISBN 0-07-054235-X.

Voci correlate

• Integrazione per parti
• Serie convergente