Teoremi di Sylow

In algebra, i teoremi di Sylow sono dei risultati fondamentali della teoria dei gruppi finiti, che permettono la scomposizione di gruppi in sottogruppi il cui studio è più facile.

Essi affermano quanto segue. Sia $G$ un gruppo finito di ordine $n$ (ovvero costituito da $n$ elementi). Sia $p$ un numero primo. Allora per ogni potenza $m=p^{r}$ di $p$ che divida $n$ esistono sottogruppi di $G$ di ordine $m$. Inoltre, se $m$ è la massima potenza di $p$ che divida $n$, allora i sottogruppi di $G$ di ordine $m$ sono coniugati fra loro.

Questi teoremi sono stati dimostrati per la prima volta nel 1872 da Ludwig Sylow, e pubblicati sulla prestigiosa rivista Mathematische Annalen.

Primo Teorema di Sylow

Enunciato

Sia $G$ un gruppo finito, e sia $|G|$ il suo ordine (ovvero il numero dei suoi elementi). Allora per ogni primo $p$ ed ogni intero $r$ tali che $p^{r}$ divida $|G|$, esiste un sottogruppo di $G$ di ordine $p^{r}$.

Dimostrazione

È sufficiente dimostrare il teorema per il più grande $p^{r}$ che divide $|G|$. Quindi scriviamo $|G|=p^{r}m$, denotando con $m$ un intero positivo non divisibile per $p$. Denotiamo allora con $X$ la collezione di tutti i sottoinsiemi di $G$ formati da $p^{r}$ elementi:

$X=\{S\subseteq G\ |\ |S|=p^{r}\}.$

La cardinalità di $X$ non è divisibile per $p$. Infatti è fornita dall'espressione

$|X|={p^{r}m \choose p^{r}}={\frac {(p^{r}m)(p^{r}m-1)\ldots (p^{r}m-i)\ldots (p^{r}m-p^{r}+1)}{(p^{r})(p^{r}-1)\ldots (p^{r}-i)\ldots 1}}$ .

Essa fornisce un intero non divisibile per $p$: infatti un divisore di $|X|$ potrebbe provenire solo da fattori del denominatore della forma $p^{r}-i$ con $i$ divisibile per $p$; per ciascuno di questi $i$ scriviamo $i=p^{q}j$, nella quale si intende che $j$ non sia divisibile per p; nella espressione precedente si può quindi isolare il fattore

${\frac {p^{r}m-i}{p^{r}-i}}={\frac {p^{r-q}m-j}{p^{r-q}-j}},$

il quale non è in grado di fornire a $|X|$ un fattore razionale contenente una potenza positiva di $p$; si conclude che è possibile semplificare il numeratore e il denominatore della precedente espressione per $|X|$, in modo da ottenere un'espressione che deve fornire un intero positivo il quale non è divisibile per $p$.

Definiamo un'azione di $G$ su $X$:

${\begin{matrix}G\times X&\rightarrow &X\\(g,S)&\mapsto &gS=\{gs\,|\,s\in S\}.\end{matrix}}$

Sia $O(S)$ l'orbita di $S$ tramite l'azione. Esiste sicuramente un $S$ la cui orbita $O(S)$ ha cardinalità non divisibile per $p$ (poiché le orbite formano una partizione di $X$, e $|X|$ non è multiplo di $p$).

Sia ${\rm {Stab}}_{G}(S)$ lo stabilizzatore di $S$. Applicando il teorema delle azioni si ottiene:

$|G|=|O(S)|\cdot |{\rm {Stab}}_{G}(S)|.$

Il numero $p^{r}$ divide $|G|$, ma $p$ non divide $|O(S)|$: allora $p^{r}$ divide $|{\rm {Stab}}_{G}(S)|$. Ne segue che

$|{\rm {Stab}}_{G}(S)|\geq p^{r}.$

D'altra parte, fissato un elemento $s$ in $S$, l'applicazione

${\rm {Stab}}_{G}(S)\to S\,\!$

$g\mapsto g\cdot s\,\!$

è iniettiva. Quindi vale anche

$|{\rm {Stab}}_{G}(S)|\leq p^{r}.$

Ne segue che ${\rm {Stab}}_{G}(S)$ è un sottogruppo di cardinalità $p^{r}$.

Secondo Teorema di Sylow

Per enunciare il secondo teorema di Sylow, è utile definire i cosiddetti p-Sylow.

Definizione di p-sottogruppo di Sylow

Sia $G$ un gruppo finito, e sia $p$ un numero primo che divida l'ordine $|G|$ di $G$. Sia $|G|=p^{k}m$, con $m$ non divisibile per $p$. (Dunque $p^{k}$ è la massima potenza di $p$ che divide l'ordine di $G$.) Si definisce $p$-sottogruppo di Sylow (o semplicemente $p$-Sylow) di $G$ ogni sottogruppo di $G$ di ordine $p^{k}$.

Enunciato

Sia $G$ un gruppo, e sia $|G|=p^{k}m$, con $p$ ed $m$ coprimi. Allora, tutti i p-Sylow di $G$ sono coniugati, ovvero, detto Syl_p(G) l'insieme dei p-Sylow di $G$, $\forall H,K\in Syl_{p}(G)\;\exists g\in G:g^{-1}Hg=K.$

Dimostrazione

Chiamiamo (per agilità di notazioni) $A\,\colon \!=\mathrm {Syl} _{p}\,(G)$. Per mostrare che tutti i p-Sylow di $G$ sono coniugati, basta mostrare che l'azione per coniugio sull'insieme $A$ è transitiva, ovvero ha una sola orbita.

$G\times A\longrightarrow A$

$(g,P)\mapsto g^{-1}Pg$

Procediamo per assurdo. Siano D₁ e D₂ due orbite distinte, e siano P un elemento di D₁, Q un elemento di D₂ e x un elemento di Q. Osserviamo che il coniugio di P tramite x, che indichiamo con $P^{x}=x^{-1}Px$, è un elemento di D₁. Dunque possiamo restringere l'azione a D₁:

$Q\times D_{1}\longrightarrow D_{1}$

$(q,P)\mapsto q^{-1}Pq$

Questa azione ha un numero r di orbite, che indichiamo con O(P_i), al variare di P_i in D₁. Per l'equazione delle orbite, segue dunque che

$|D_{1}|=\sum _{i=1}^{r}{|O(P_{i})|}=\sum _{i=1}^{r}{|Q:St_{Q}(P_{i})|}=\sum _{i=1}^{r}{|Q:N_{Q}(P_{i})|}$

dove l'ultima uguaglianza è giustificata dal fatto che in un'azione per coniugio lo stabilizzatore dell'elemento P_i è proprio il normalizzante in $Q$ di P_i. Poiché gli stabilizzatori sono sottogruppi di $Q$ e poiché $Q$ è un p-Sylow, ogni orbita ha ordine o $1$ o una potenza propria di $p$ (è un'immediata conseguenza del teorema di Lagrange). Allo stesso tempo, poiché P appartiene a D₁, possiamo dire che D₁ è l'orbita di $P$ nella prima azione che abbiamo definito. Dunque, $|D_{1}|=|O(P)|=|G:St_{G}(P)|=|G:N_{G}(P)|$. Per il teorema di Lagrange, $|G|=|G:N_{G}(P)||N_{G}(P)|=|G:N_{G}(P)||N_{G}(P):P||P|$. Dunque, ne segue che $|G:N_{G}(P)||N_{G}(P):P|=m$. Dunque, $|G:N_{G}(P)|$ è un divisore di m e pertanto non è diviso da p. Dunque anche $|D_{1}|$ non è diviso da p, quindi gli addendi che compaiono nella sommatoria scritta precedentemente non possono essere tutti potenze di p (poiché altrimenti sarebbero divisibili per p). Da ciò segue che esiste almeno un j tale che $|O(P_{j})|=1$. Questo significa che $|Q:N_{Q}(P_{j})|=1|$, e quindi che $Q=N_{Q}(P_{j})$. Il che implica che $QP_{j}=P_{j}Q$, poiché $q^{-1}P_{j}q=P_{j}\;\forall q\in Q$. Dunque, $QP_{j}\leq G$ e il suo ordine vale:

$|QP_{j}|={\frac {|Q||P_{j}|}{|Q\cap P_{j}|}}$.

Il numeratore vale $p^{k}\cdot p^{k}$ poiché entrambi appartengono ad A; al denominatore troviamo invece una potenza di p, con esponente strettamente minore di k, in quanto $Q\cap P_{j}\leq Q$ e $Q\cap P_{j}\leq P_{j}$. Ovviamente il denominatore non può valere p^k, poiché se così fosse risulterebbe $Q=P_{j}$, ma questo non è possibile perché appartengono a due orbite che per ipotesi avevamo supposto distinte. Dunque, $|QP_{j}|=p^{z}$, con $z>k$. Ma questo è un assurdo, poiché $QP_{j}\leq G$. Dunque l'ipotesi che D₁ e D₂ fossero distinte è falsa, e l'azione è transitiva.

Terzo Teorema di Sylow

Il terzo teorema di Sylow fornisce importanti informazioni sul numero dei p-Sylow di un gruppo, utilizzando i concetti di divisibilità e di congruenza.

Enunciato

Sia G un gruppo, e sia |G|=p^km, con p ed m coprimi. Allora, detto n_p il numero dei p-Sylow di G, risulta:

• n_p | m
• n_p ≡ 1 mod p

Dimostrazione

Detto A:=Syl_p(G), ovviamente n_p = |A|. Considerando P∈A, per il secondo teorema di Sylow risulta che |A|=|O(P)|, considerando l'azione per coniugio di G su A. Dunque, $|A|=|G:St_{G}(P)|=|G:N_{G}(P)|$, dove l'ultima uguaglianza segue dal fatto che lo stabilizzatore di P nell'azione per coniugio è proprio il normalizzante di P in G. Per il Teorema di Lagrange, $|G|=|G:N_{G}(P)||N_{G}(P)|=|G:N_{G}(P)||N_{G}(P):P||P|$. Dunque, poiché |P| = p^k, $|G:N_{G}(P)|$ divide m. Poiché n_p = |A|, ne segue che n_p | m.

Rimane da provare la seconda parte della tesi. A tale scopo consideriamo Q ∈ A e definiamo l'azione

$Q\times A\longrightarrow A$

$(q,P)\mapsto q^{-1}Pq$

Questa azione ha un numero r di orbite, che indichiamo con O(P_i), al variare di P_i in A. Per l'equazione delle orbite, segue dunque che

$|A|=\sum _{i=1}^{r}{|O(P_{i})|}=\sum _{i=1}^{r}{|Q:St_{Q}(P_{i})|}=\sum _{i=1}^{r}{|Q:N_{Q}(P_{i})|}$

Tutte queste orbite hanno lunghezza o 1 o una potenza propria di p. Osserviamo innanzitutto che $O(Q)=O(P_{s})\;\exists s\in \{1,\dots ,r\}$ e che $|O(P_{s})|=|Q:N_{Q}(P_{s})|=|Q:N_{Q}(Q)|=1$. Per verificare la tesi, dobbiamo a questo punto solo mostrare che tutte le altre orbite hanno lunghezza un multiplo di p. Supponiamo, per assurdo, che l'orbita di Q non sia l'unica di lunghezza 1, ovvero supponiamo che esista $P_{j}\neq Q$ tale che $|O(P_{j})|=1$. Allora $|Q:N_{Q}(P_{j})|=1$, ovvero $Q=N_{Q}(P_{j})$. Il che implica che $QP_{j}=P_{j}Q$, poiché $q^{-1}P_{j}q=P_{j}\;\forall q\in Q$. Dunque, $QP_{j}\leq G$ e il suo ordine vale:

$|QP_{j}|={\frac {|Q||P_{j}|}{|Q\cap P_{j}|}}$.

Il numeratore vale $p^{k}\cdot p^{k}$ poiché entrambi appartengono ad A; al denominatore troviamo invece una potenza di p, con esponente strettamente minore di k, in quanto $Q\cap P_{j}\leq Q$ e $Q\cap P_{j}\leq P_{j}$. Ovviamente il denominatore non può valere p^k, poiché se così fosse risulterebbe $Q=P_{j}$, ma questo non è possibile perché avevamo supposto per ipotesi che fosse $P_{j}\neq Q$. Dunque, $|QP_{j}|=p^{z}$, con $z>k$. Ma questo è un assurdo, poiché $QP_{j}\leq G$. Dunque l'ipotesi che esistesse un'altra orbita, oltre a quella di Q, di lunghezza 1 è un assurdo. Quindi,

$n_{p}=|A|=\sum _{i=1}^{r}{|O(P_{i})|}\equiv 1\;(\mathrm {mod} \;p)$

Due semplici applicazioni

Un gruppo di ordine $pq$ con $p$ e $q$ primi, $p$ minore di $q$ che non divide $q-1$, per esempio di ordine $33$, è necessariamente un gruppo ciclico.

Il numero n_q di q-Sylow è congruo 1 modulo q e divide p quindi si ha necessariamente n_q=1 essendo p minore di q. Inoltre essendo n_p ≡ 1 mod p e poiché n_p divide q deve essere n_p=1 (non può essere q per la condizione che p non divide q-1). Ogni Sylow è quindi un sottogruppo normale. Ma allora $G$ si può realizzare come prodotto diretto dei suoi Sylow (che hanno come elemento comune solo l'identità). Inoltre p e q sono primi fra loro quindi il gruppo è ciclico.

Si osservi l'importanza della condizione che p non divida q-1: basta pensare che esistono due gruppi di ordine $6$ (quello ciclico e il gruppo simmetrico su tre oggetti).

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Vediamo perché un gruppo $G$ di ordine $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$ contiene un sottogruppo ciclico normale di ordine 11. Il numero di 3-Sylow deve essere congruo a 1 modulo 3 e deve dividere 44, le uniche possibilità sono 1,4 e 22. Il numero di 11-Sylow invece deve essere congruo a 1 modulo 11 e dividere 12 quindi n₁₁=1 o n₁₁=12. Se fosse n₃=22 avremmo 44 elementi di periodo 3 e questo implica n₁₁=1 perché altrimenti ci sarebbero 120 elementi di periodo 11: troppi!

Qualora fosse n₃=1 il 3-Sylow C₃ sarebbe normale. Allora G/C₃ avrebbe ordine 44 e conterrebbe un sottogruppo normale di ordine 11. A questo sottogruppo corrisponde un sottogruppo normale $K$ di $G$ di ordine 33, quindi ciclico. Un elemento di periodo 11 in $K$ genera il sottogruppo normale di ordine 11 cercato.

L'ultima possibilità è n₃=4. Anche in questo caso n₁₁ non può valere 12. Se così fosse avremmo 8 elementi di periodo 3, 120 di periodo 11 e l'identità. C'è posto solo per 3 elementi di periodo 2. Allora il 2-Sylow S₂ è normale. Vediamo il quoziente G/S₂: ha ordine 33. Questo è ciclico e contiene un sottogruppo di ordine 11. A questo corrisponde un sottogruppo normale di $G$ di ordine 44. Tale sottogruppo ha esattamente 10 elementi di periodo 11: troppo pochi (avevamo supposto che $G$ ne avesse complessivamente 120).

Bibliografia

• (EN) Claudia Menini, Freddy Van Oystaeyen, Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment, CRC Press, ISBN 978-0-8247-0985-3
• Dikran Dikranjan e Maria Silvia Lucido, Aritmetica e algebra, Liguori, 2007, ISBN 978-8-8207-4098-6
• I. N. Herstein, Algebra, Roma, Editori Riuniti, 1995, ISBN 88-359-3634-9.

Collegamenti esterni

• Sylow, teoremi di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Sylow Theorems, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Sylow theorems, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.