Spettro di potenza

In elettronica e teoria dei segnali un segnale può essere rappresentato come un vettore nello spazio complesso a infinite dimensioni, in particolare uno spazio di Hilbert.

Una volta introdotto l'apparato matematico vettoriale dei segnali nello spazio di Hilbert possiamo definire l'energia di un segnale come:

$E_{s}=\|\mathbf {s} \|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }s^{2}(t)\,dt$

dove $s(t)$ è il segnale. Da notare che le energie non sono additive nello spazio di Hilbert dei segnali, infatti:

$\|\mathbf {s} _{1}+\mathbf {s} _{2}\|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\mathbf {s} _{1}+\mathbf {s} _{2}\right]^{2}\,dt=E_{s_{1}}+E_{s_{2}}+2\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}\,dt$

dove il termine $2\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}\,dt$ è chiamato termine di cross energy. Se il segnale è una tensione allora l'unità di misura dell'energia è $[V^{2}\cdot s/\Omega ]$, se invece è una corrente elettrica allora $[A^{2}\cdot s/\Omega ]$.

Spettro di potenza

Il prodotto di due segnali, nella teoria vettoriale dei segnali è definito come un prodotto scalare nello spazio di Hilbert:

$u(t)\cdot v(t)=\int _{-\infty }^{\infty }u(t)v(t)\,dt$

Nell'ambito della teoria spettrale dei segnali tramite la trasformata di Fourier il prodotto dei due segnali si esprime come:

$u(t)\cdot v(t)=\int _{-\infty }^{\infty }u(t)v(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }u(t)\,dt\int _{-\infty }^{\infty }V(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega$

dove $V(\omega ),U(\omega )$ sono gli spettri dei segnali $v(t),u(t)$ rispettivamente. Cambiamo l'ordine di integrazione:

$u(t)\cdot v(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }V(\omega )\,d\omega \int _{-\infty }^{\infty }u(t)e^{i\omega t}\,dt$

allora gli spettri dei segnali sono funzioni complesse di $\omega$, allora:

$u(t)\cdot v(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }V(\omega )U^{*}(\omega )\,d\omega$

che è la formula generalizzata di Rayleigh: il prodotto scalare di due segnali è proporzionale al prodotto scalare dei loro spettri.

Nel caso di un segnale lo spettro di potenza è dato da:

$|u(t)|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }u^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|U(\omega )|^{2}\,d\omega$

interpretabile come la somma di infiniti contributi del segnale a diverse frequenze.

Spettro di potenza di un sistema lineare

In un sistema lineare dinamico l'energia di un segnale è data da:

$E=|u_{out}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }S_{out}(\omega )S_{out}^{*}(\omega )\,d\omega$

Se ricordiamo che:

$S_{out}(\omega )=k(i\omega )S_{in}(\omega )$

dove $k(i\omega )$ è la funzione di trasferimento del sistema. Per cui l'energia del segnale:

$E={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|k(i\omega )|^{2}S_{in}(\omega )S_{in}^{*}(\omega )\,d\omega$

cioè l'energia del segnale è esprimibile in termini di spettri del segnale.

La quantità:

$k_{p}(\omega )=|k(i\omega )|^{2}={\frac {W_{out}(\omega )}{W_{in}(\omega )}}$

è la risposta del sistema all'energia trasferita. La grandezza $W(\omega )=S(\omega )S^{*}(\omega )$.

Voci correlate

• Rappresentazione spettrale dei segnali
• Trasformata di Fourier
• Sistema dinamico lineare

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 74439