Superficie di rotazione

In geometria una superficie di rotazione o di rivoluzione è una superficie ottenuta ruotando una curva (detta generatrice o profilo) attorno ad una retta (l'asse di rotazione).

La parabola y=x² ruotata attorno all'asse y

La curva ottenuta intersecando un piano perpendicolare all'asse di rotazione si chiama parallelo della superficie di rotazione. La curva ottenuta intersecando un piano passante per l'asse di rotazione è detta meridiano.

Equazione parametrica

In generale una superficie di rotazione $\Sigma$ è rappresentabile in equazioni parametriche fissando un sistema di riferimento cartesiano e rappresentando le equazioni parametriche della curva che la genera. Scegliamo z (per esempio) coincidente con l'asse di rotazione, le equazioni della curva sono:

${\begin{cases}x=x(u)\geq 0\\y=0\\z=z(u)\end{cases}}$

dove $u\in [a,b]$ è un parametro reale.

Ora supponendo che la curva sopra ruoti di un angolo $\theta \in [0,2\pi ]$ attorno all'asse z, otteniamo le equazioni parametriche della superficie di rotazione:

${\begin{cases}x=x(u)\cos \theta \\y=x(u)\sin \theta \\z=z(u)\end{cases}}$

In questo caso i paralleli sono dati fissando il valore del parametro u:

${\begin{cases}x=x(u_{0})\cos \theta \\y=x(u_{0})\sin \theta \\z=z(u_{0})\end{cases}}$

mentre i meridiani, fissando il parametro $\theta _{0}$:

${\begin{cases}x=x(u)\cos \theta _{0}\\y=x(u)\sin \theta _{0}\\z=z(u)\end{cases}}$

Equazione cartesiana

Allo stesso modo possiamo rappresentare la curva che genera la superficie pensandola come equazione cartesiana:

${\begin{cases}f(x,z)=0\\y=0\end{cases}}$

Prendiamo un punto fisso della curva $(x_{0},0,z_{0})$ e vediamo che se lo facciamo ruotare intorno a z di un angolo $\theta$ otteniamo un altro punto di equazioni:

${\begin{cases}x=x_{0}\cos \theta \\y=x_{0}\sin \theta \\z=z_{0}\end{cases}}$

Poiché quadrando le prime due equazioni otteniamo: $x_{0}^{2}=x^{2}+y^{2}$ si vede che $x_{0}\geq 0$. Allora l'equazione cartesiana della superficie di rotazione è:

$f\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}},z\right)=0$

Prima forma differenziale di Gauss

Facendo riferimento a quanto detto sulle superfici parametriche possiamo ricavare l'espressione della prima forma quadratica di Gauss, che rappresenta in genere l'elemento di superficie. Poiché essa è una superficie regolare possiamo ricavare i vettori tangenti alle due linee t e θ:

${\vec {T}}_{u}=(x'\cos \theta ,x'\sin \theta ,z')$

${\vec {T}}_{\theta }=(-x\sin \theta ,x\cos \theta ,0)$

Allora i coefficienti della prima forma differenziale di Gauss diventano:

$E={\vec {T}}_{u}\cdot {\vec {T}}_{u}=x'^{2}+z'^{2}$

$F={\vec {T}}_{u}\cdot {\vec {T}}_{\theta }=0$

$G={\vec {T}}_{\theta }\cdot {\vec {T}}_{\theta }=x^{2}$

La prima forma quadratica di Gauss è:

$\left(x'^{2}+z'^{2}\right)du^{2}+x^{2}d\theta ^{2}$

In tal caso l'elemento di superficie diventa:

$d\sigma ={\sqrt {x'^{2}+z'^{2}}}\cdot x\cdot dud\theta$

e se ne può calcolare l'area:

$Area(\Sigma )=\int _{0}^{2\pi }d\theta \cdot \int _{a}^{b}{\sqrt {x'^{2}+z'^{2}}}\cdot x\cdot du$

Un caso particolare e notevole è la parametrizzazione della curva profilo mediante l'ascissa curvilinea s. Con essa la velocità del profilo è costantemente 1, ovvero $x'^{2}+z'^{2}=1$. Perciò i coefficienti della prima forma quadratica si riducono:

$E={\vec {T}}_{s}\cdot {\vec {T}}_{s}=1$

$F={\vec {T}}_{s}\cdot {\vec {T}}_{\theta }=0$

$G={\vec {T}}_{\theta }\cdot {\vec {T}}_{\theta }=x^{2}$

dove $s\in [a,b]$ è il nuovo parametro dell'ascissa curvilinea. La prima forma quadratica di Gauss diventa:

$ds^{2}+x^{2}d\theta ^{2}$

con elemento di superficie:

$d\sigma =x\cdot dsd\theta$

e area calcolabile immediatamente:

$Area(\Sigma )=\int _{0}^{2\pi }d\theta \cdot \int _{a}^{b}x\cdot ds=\int _{a}^{b}2\pi x\cdot ds$

Seconda forma differenziale di Gauss

Facendo riferimento alle superfici parametriche si può ricavare per ogni punto della superficie di rotazione i versori normali:

${\hat {N}}={\frac {{\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{\theta }}{|{\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{\theta }|}}$

I coefficienti della seconda forma differenziale di Gauss diventano se ricaviamo le derivate parziali seconde:

${\vec {T}}_{uu}=(x''\cos \theta ,x''\sin \theta ,z'')$

${\vec {T}}_{u\theta }=(-x'\sin \theta ,x'\cos \theta ,0)$

${\vec {T}}_{\theta \theta }=(-x\cos \theta ,-x\sin \theta ,0)$

otteniamo:

$L={\frac {{\vec {T}}_{uu}\cdot {\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{\theta }}{|{\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{\theta }|}}={\frac {z''\cdot x'-z'\cdot x''}{\sqrt {x'^{2}+z'^{2}}}}$

$M={\frac {{\vec {T}}_{u\theta }\cdot {\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{\theta }}{|{\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{\theta }|}}={\frac {0}{x{\sqrt {x'^{2}+z'^{2}}}}}=0$

$N={\frac {{\vec {T}}_{\theta \theta }\cdot {\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{\theta }}{|{\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{\theta }|}}={\frac {xz'}{\sqrt {x'^{2}+z'^{2}}}}$

Voci correlate

• Superficie
• Superficie rigata
• Superficie parametrica
• Quartica come linea d'intersezione tra due superfici di rotazione

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Collegamenti esterni

* Casi d'intersezione tra Superfici di rotazione