Taglio (topologia)

Nella branca della geometria dedicata alla topologia, è operazione comune tagliare e incollare alcuni spazi topologici per crearne di nuovi. Questa operazione è particolarmente utile nel caso in cui gli spazi topologici siano delle varietà. Si tratta quindi di un'operazione usata comunemente in topologia differenziale e nella topologia della dimensione bassa.

Tagliare

L'operazione di taglio è definita soprattutto nell'ambito della topologia differenziale e quindi delle varietà differenziabili.

Varietà

Sia $X$ una varietà differenziabile e $Y$ una sua sottovarietà differenziabile compatta, di codimensione 1 (cioè $\dim X=\dim Y+1$). Entrambe le varietà possono avere bordo: si richiede però che $Y$ sia propriamente immersa, cioè che

$\partial Y=Y\cap \partial X.$

Per il teorema dell'intorno tubolare, esiste un intorno tubolare aperto $T$ di $Y$. L'operazione di taglio lungo $Y$ consiste nella rimozione di $T$ da $X$. In altre parole, lo spazio $X'$ ottenuto tagliando $X$ lungo $Y$ è lo spazio

$X'=X\setminus T.$

Lo spazio $X'$ è una nuova varietà differenziabile con bordo. Non dipende dalla scelta di $T$ (poiché l'intorno tubolare è unico a meno di isotopia ambiente).

Orientabilità

Si considera il caso in cui $Y$ non ha bordo, ed è quindi interamente contenuta nell'interno di $X$.

Se $X$ e $Y$ sono entrambe orientabili, l'intorno tubolare $T$ è un prodotto $Y\times (-1,1)$. Il bordo $\partial X'$ della nuova varietà $X'$ ha quindi due componenti in più di $\partial X$, entrambe diffeomorfe a $Y$.

Tagliando un nastro di Möbius lungo il cuore, si ottiene un anello.

Senza queste ipotesi di orientabilità, $T$ può non essere un prodotto: in questo caso, il "taglio" non separa effettivamente l'intorno $T$ in due pezzi distinti, ma in un pezzo solo, e quindi $\partial X'$ ha una sola componente in più di $\partial X$. Questo è il caso ad esempio se viene tagliato il cuore del nastro di Möbius: il risultato è un anello, il cui bordo ha 2 componenti, mentre il nastro di Möbius ne ha una sola.

Esempi

Tagliando una sfera lungo l'equatore si ottengono due calotte (colorate qui in rosso e blu), ciascuna delle quali è diffeomorfa ad un disco.

Tagliando una sfera

$S^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}\ |\ |x|=1\}$

lungo l'equatore

$S^{n-1}=\{x=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}\ |\ |x|=1,x_{0}=0\}$

si ottengono due calotte sferiche, ciascuna delle quali è diffeomorfa al disco

$D^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|\leq 1\}.$

Altri spazi

L'operazione di taglio in spazi topologici arbitrari è definita analogamente quando un sottospazio $Y$ di uno spazio topologico $X$ ha una nozione di "intorno tubolare" simile a quella valida per le varietà differenziabili. Se $X$ e $Y$ sono complessi simpliciali, questa nozione esiste e si chiama intorno regolare.

Incollare

Definizione generale

L'operazione di incollamento in topologia è più generale. Si applica in presenza di due spazi topologici qualsiasi $X$ e $Y$, contenenti due sottospazi $A\subset X$ e $B\subset Y$, collegati da un omeomorfismo

$f:A\to B.$

In questo caso, lo spazio $Z$ ottenuto incollando $X$ e $Y$ lungo $f$ è lo spazio quoziente

$Z=X\sqcup Y/_{\sim }$

dove $\sim$ è la relazione di equivalenza sull'unione disgiunta di $X$ e $Y$ indotta da $f$ che identifica $x$ e $f(x)$. Più precisamente,

$x\sim y\Leftrightarrow x=y\ {\rm {oppure}}\ x=f(y)\ {\rm {oppure}}\ y=f(x).$

Varietà

Se $X$ e $Y$ sono due varietà con bordo e gli insiemi $A$ e $B$ sono due sottovarietà compatte (con o senza bordo) contenute rispettivamente in $\partial X$ e $\partial Y$, il risultato dell'incollamento $Z$ è nuovamente una varietà con bordo. Nel caso in cui le varietà iniziali e la mappa $f$ siano differenziabili, lo sarà anche $Z$.

Se $X'$ è ottenuta da $X$ tagliando lungo un'ipersuperficie con intorno tubolare prodotto, questa ha due componenti di bordo in più. Incollando queste due componenti di bordo opportunamente, si ottiene nuovamente $X$.

Esempi

Incollando due dischi (cioè due varietà omeomorfe a $D^{n}$) si ottiene sempre una sfera (cioè una varietà omeomorfa a $S^{n}$), a prescindere dalla scelta della $f$.

La somma connessa è un'operazione tra varietà della stessa dimensione, che consiste di due fasi: nella prima si rimuovono delle palle aperte, e quindi si incollano le due nuove sfere di bordo.

In dimensione 3, la chirurgia di Dehn consiste nel tagliare e reincollare lungo tori. In questo caso, il risultato dipende dalla scelta della funzione di incollamento, ma è sufficiente fissare un numero razionale per determinare la varietà risultante.

Voci correlate

• Topologia
• Varietà (geometria)
• Teorema dell'intorno tubolare