Teorema del consenso

Il teorema del consenso è un teorema estremamente utile nella semplificazione di un'espressione booleana. In una espressione del tipo $xy+{\bar {x}}z+yz$ si dimostra che il termine $yz$ è ridondante e può essere eliminato semplificando l'espressione originaria in $xy+{\bar {x}}z$.

In modo intuitivo possiamo comprendere il teorema osservando che, in una serie di tre somme, per essere rilevante ai fini del risultato dovremmo avere $yz=1$. In tal caso avremmo anche $y=1$ e $z=1$, pertanto uno qualsiasi dei due termini $xy$ e ${\bar {x}}z$ deve valere $1$, sia che valga ${\bar {x}}=1$ oppure valga $x=1$. Osserviamo come essendo sufficiente un prodotto uguale ad $1$ per ottenere $1$ come risultato dell'intera somma, non sarebbe influente il prodotto $yz$.

Teorema del consenso

$xy+{\bar {x}}z+yz=xy+{\bar {x}}z$

Dimostrazione

La prova del teorema è molto semplice in quanto basta verificare che il primo termine a sinistra dell'uguaglianza è equivalente al secondo.

${\begin{alignedat}{3}xy+{\bar {x}}z+yz&=xy+{\bar {x}}z+yz(x+{\bar {x}})\\&=xy+{\bar {x}}z+xyz+{\bar {x}}yz\\&=xy+xyz+{\bar {x}}z+{\bar {x}}yz\\&=xy(1+z)+{\bar {x}}z(1+y)\\&=xy(1)+{\bar {x}}z(1)\\&=xy+{\bar {x}}z\\\end{alignedat}}$

Il termine ridondante $yz$ è detto termine di consenso e rappresenta il consenso dei termini $xy$ e ${\bar {x}}z$. In generale, dati due termini in cui una variabile compare in un termine e il complemento della stessa variabile compare nell'altro, il termine di consenso è formato dal prodotto dei due termini in questione eliminando da essi la variabile e il suo complemento.

Ad esempio il consenso di $xyz$ e ${\bar {y}}wz$ è $(xz)(wz)=xwz$.

Forma duale del teorema del consenso

$(x+y)({\overline {x}}+z)(y+z)=(x+y)({\overline {x}}+z)$