Teorema della sottobase di Alexander

Il teorema della sottobase (o prebase) di Alexander è un importante risultato di topologia, che fornisce una condizione necessaria per la compattezza di spazi qualsiasi a partire dal comportamento dei ricoprimenti di prebasi

Introduzione

Sia $(X,\tau )$ uno spazio topologico e sia ${\mathcal {B}}$ una sua base. È noto che $X$ è compatto se ogni suo ricoprimento fatto con aperti di ${\mathcal {B}}$ ammette un sottoricoprimento finito. Il teorema di Alexander estende tale risultato anche per le prebasi. Ricordiamo che una prebase ${\mathcal {P}}$ è una collezione di aperti aperti di $X$ tale che la famiglia delle intersezioni finite di elementi di ${\mathcal {P}}$ sia una base della topologia su $X$. Osserviamo che ogni prebase forma un ricoprimento aperto dello spazio

Enunciato formale e dimostrazione

Sia $(X,\tau )$ uno spazio topologico e ${\mathcal {P}}$ una sua prebase. Se ogni ricoprimento di $X$ fatto di elementi ${\mathcal {P}}$ ammette un sottoricoprimento finito allora $X$ è compatto

Procediamo per assurdo: sia $X$non compatto e mostriamo che esiste un ricoprimento di $X$ fatto con elementi di ${\mathcal {P}}$ che non ammette un sottoricoprimento finito. Per maggiore chiarezza suddividiamo la dimostrazione in due passi

Primo passo

Dimostriamo che l'insieme $Z$ delle sottofamiglie di $\tau$ che ricoprono $X$ ma che non ammettono sottoricoprimenti finiti, ordinato con l'inclusione, possiede un elemento massimale ${\mathcal {Z}}$. Per l'ipotesi assurda $Z$ è sicuramente non vuoto. Mostriamo che ogni catena ammette maggiorante, onde l'esistenza dell'elemento massimale è conseguenza del Lemma di Zorn. Sia allora $C$ una catena e facciamo vedere che ${\mathcal {C}}=\bigcup _{{\mathcal {A}}\in C}{\mathcal {A}}$ è un maggiorante di $C$: chiaramente, basta solo far vedere che ${\mathcal {C}}$ è un elemento di $Z$. Se così non fosse, potremmo trovare un sottoricoprimento finito $\{A_{1},...,A_{n}\}\subset {\mathcal {C}}$ di $X$; inoltre, possiamo scegliere ${\mathcal {A}}_{1},...,{\mathcal {A}}_{n}\in C$ tali che $A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}$ per ogni $i=1,...,n$. Dato che $C$ è una parte totalmente ordinata di $Z$, possiamo supporre che sia ${\mathcal {A}}_{1}=\max _{1\leq i\leq n}{\mathcal {A}}_{i}$ e avremmo l'assurdo che $\{A_{1},...,A_{n}\}\subset {\mathcal {A}}_{1}$.

Secondo passo

Mostriamo che ${\mathcal {P}}\cap {\mathcal {Z}}$ è un ricoprimento aperto di $X$ : così facendo troveremmo un ricoprimento fatto con elementi della prebase che non ammette sottoricoprimenti finiti, essendo ${\mathcal {P}}\cap {\mathcal {Z}}\subset {\mathcal {Z}}$. Per far vedere che ${\mathcal {P}}\cap {\mathcal {Z}}$ è un ricoprimento aperto di $X$ bisogna mostrare che per ogni $x\in X$ esiste un aperto $P\in {\mathcal {P}}\cap {\mathcal {Z}}$ tale che $x\in P$. Iniziamo ad osservare che esiste un aperto $A\in {\mathcal {Z}}$ tale che $x\in A$. D'altra parte, ${\mathcal {P}}$ è una prebase di $X$ sicché possiamo trovare $P_{1},...,P_{n}\in {\mathcal {P}}$ tali che $x\in \bigcap _{i=1}^{n}P_{i}\subset A$. Se qualche $P_{i}\in {\mathcal {Z}}$ abbiamo finito. Altrimenti per ogni $i=1,...,n$ il ricoprimento ${\mathcal {Z}}_{i}={\mathcal {Z}}\cup \{P_{i}\}$ contiene strettamente ${\mathcal {Z}}$ e non può appartenere a $Z$. Ne discende, per ogni $i=1,...,n$, esiste un sottoricoprimento finito $\{P_{i},A_{i,1},...,A_{i,s_{i}}\}$ con $A_{i,j}\in {\mathcal {Z}}$: si ha poi

$\bigcap _{i=1}^{n}P_{i}\cup \bigcup _{i=1}^{n}\bigcup _{j=1}^{s_{i}}A_{i,j}=\bigcap _{i=1}^{n}P_{i}\cup \bigcap _{i=1}^{n}\bigcup _{i=1}^{n}\bigcup _{j=1}^{s_{i}}A_{i,j}=\bigcap _{i=1}^{n}{\bigg (}P_{i}\cup \bigcup _{i=1}^{n}\bigcup _{j=1}^{s_{i}}A_{i,j}{\bigg )}\supseteq \bigcap _{i=1}^{n}{\bigg (}P_{i}\cup \bigcup _{j=1}^{s_{i}}A_{i,j}{\bigg )}=\bigcap _{i=1}^{n}X=X$

Si è così trovato così un sottoricoprimento finito di ${\mathcal {Z}}$, che è assurdo.