Teorema delle restrizioni

In analisi matematica, ci sono due teoremi collegati che prendono il nome di teorema delle restrizioni. Qui sono enunciate le versioni in una variabile, ma la generalizzazione a più dimensioni è immediata.

Primo teorema delle restrizioni

Sia $f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $x_{0}$ punto di accumulazione per $A$. Il primo teorema delle restrizioni afferma che se $f$ ammette limite $l$ in $x_{0}$:

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l$

allora per ogni sottoinsieme $B\subseteq A$ tale che $x_{0}$ sia punto di accumulazione anche per $B$ è:

$\lim _{x\to x_{0}}f_{|B}(x)=l$

È molto utile sfruttare la negazione di questo teorema: infatti se si riesce ad individuare una restrizione di $f$ che non possegga limite, o a trovarne due distinte per cui sia $l_{1}\neq l_{2}$, dal teorema deve dedursi che $f$ stessa non possiede limite. Ad esempio, la successione $a_{n}=(-1)^{n}$ non possiede limite poiché $a_{2n}$ (cioè la sua restrizione sui pari) è costante a $1$, mentre
$a_{2n+1}$ (sui dispari) è costante a $-1$.

Secondo teorema delle restrizioni

Sia $f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $x_{0}$ punto di accumulazione per $A$ e siano $B_{1},B_{2}\subseteq A$ tali che:

$B_{1}\cup B_{2}=A$

ovvero $B_{1},B_{2}$ è un ricoprimento di $A$. Sia inoltre $x_{0}$ punto di accumulazione per entrambi. Il secondo teorema delle restrizioni afferma che se:

$\lim _{x\to x_{0}}f_{|B_{1}}(x)=\lim _{x\to x_{0}}f_{|B_{2}}(x)=l$

allora $f$ possiede limite in $x_{0}$ e tale limite è necessariamente $l$.

Voci correlate

• Limite di una funzione
• Restrizione di una funzione

Collegamenti esterni

• Anna Martellotti - Teorema delle restrizioni (PDF), su dmi.unipg.it. URL consultato il 9 giugno 2014 (archiviato dall'url originale il 14 luglio 2014).