Teorema di Ascoli-Arzelà

In analisi matematica, il teorema di Ascoli-Arzelà fornisce una condizione sufficiente affinché una successione di funzioni continue limitate ammetta una sottosuccessione convergente, nella norma del massimo. Si tratta della norma che rende $C([a,b])$ , lo spazio delle funzioni continue sull'intervallo $[a,b]$ , uno spazio completo, ovvero uno spazio di Banach. Il risultato del teorema non è banale dato che, come si può dimostrare, la compattezza equivale alla chiusura e limitatezza solo in spazi finito dimensionali (si veda il teorema di Heine-Borel).^[1]

Il teorema è di fondamentale importanza in analisi funzionale. Prende il nome dai matematici italiani Giulio Ascoli e Cesare Arzelà.

Il teorema

Una successione di funzioni continue $\{f_{n}\}_{n\in N}$ definite su un intervallo $[a,b]\subset \mathbb {R}$ è detta uniformemente limitata se esiste un numero $M>0$ tale che:

|f_{n}(x)|\leq M

per ogni funzione $f_{n}$ della successione e per ogni $x\in [a,b]$ . Una tale successione è uniformemente equicontinua se per ogni $\varepsilon >0$ esiste $\delta >0$ tale che:

|f_{n}(t)-f_{n}(\tau )|<\varepsilon \quad {\text{se}}\quad |t-\tau |<\delta

per ogni funzione $f_{n}$ della successione. In modo equivalente, una successione è equicontinua se e solo se tutti i suoi elementi hanno il medesimo modulo di continuità.

Il teorema di Ascoli-Arzelà considera una successione $f_{n}$ di funzioni continue a valori reali definite su $[a,b]$ . Se la successione è equicontinua e uniformemente limitata allora esiste una sottosuccessione $f_{n_{k}}$ convergente uniformemente.

Generalizzazione

Una versione più generale del teorema considera gli spazi metrici. Come definizione preliminare, un insieme è relativamente compatto se la sua chiusura è compatta. Siano $X,Y$ spazi metrici, $X$ compatto ed $E$ un sottoinsieme di $C(X,Y)$ . Se $E$ è equicontinuo e l'insieme $E(t)=\{f(t):f\in E\}$ è relativamente compatto per ogni $t$ in $X$ , allora $E$ è relativamente compatto.

Dimostrazione

Si consideri un ordinamento dei numeri razionali dell'intervallo $[a,b]$ ed una successione $f_{n}$ . Allora essa è limitata sul primo razionale $q_{1}$ , ma poiché $[-M,M]$ è un compatto (dove $M$ è la costante di uniforme limitatezza), essa ammetterà una sottosuccessione convergente su $q_{1}$ , che indichiamo con $f_{1,n}$ . La sottosuccessione $f_{1,n}$ è limitata sul secondo razionale $q_{2}$ e ammette dunque una sotto-sottosuccessione convergente su $q_{2}$ , indicata con $f_{2,n}$ . Questa a sua volta sarà limitata su $q_{3}$ , e così via. Procedendo in questo modo si costruisce una successione di sottosuccessioni $f_{m,n}$ tali che $f_{m,n}$ converge per ogni $q_{i}$ , con $i$ minore o uguale a $m$ . A questo punto è possibile costruire una sottosuccessione estraendo la diagonale delle $f_{m,n}$ , cioè prendendo la successione $f_{n,n}$ che converge su ogni razionale contenuto in $[a,b]$ .

Si vuole dimostrare che la successione $f_{n,n}$ è di Cauchy su $[a,b]$ , poiché la completezza dello spazio consente di concludere ciò. Si fissi dunque $\varepsilon$ e si ricavi dall'equicontinuità il $\delta$ corrispondente. Ricoprendo quindi $[a,b]$ con $N$ intervallini $I_{n}$ , tutti di ampiezza minore di $\delta$ , ogni $t$ dell'intervallo $[a,b]$ appartiene a un $I_{n}$ . Quindi si ha:

|f_{n,n}(t)-f_{m,m}(t)|<|f_{n,n}(t)-f_{n,n}(q_{i})|+|f_{n,n}(q_{i})-f_{m,m}(q_{i})|+|f_{m,m}(q_{i})-f_{m,m}(t)|\

Il primo e il terzo termine al secondo membro sono minori di $\varepsilon$ , basti scegliere $q_{i}$ in $I_{j}$ ( $I_{j}$ tale che $t\in I_{j}$ ), in virtù dell'equi-uniforme-continuità delle $f_{n}$ . Il termine centrale al secondo membro è invece minore di $\varepsilon$ per $m,n$ sufficientemente grandi, poiché $f_{n,n}$ converge su tutti i razionali. $f_{n,n}$ converge puntualmente ad una $f(x)$ , la successione $f_{n,n}$ è equiuniformemente continua in $[a,b]$ , quindi $f_{n,n}$ converge uniformemente ad $f(x)$ in $[a,b]$ , quindi in particolare $f(x)$ è continua in $[a,b]$ .

Note

^ Una successione limitata che non ammette sottosuccessioni convergenti nella norma del massimo, per esempio, è la successione $f_{n}$ definita da:
$f_{n}=\left\{{\begin{matrix}2n(n+1)x-2n&{\frac {1}{n+1}}\leq x<{\frac {2n+1}{2n(n+1)}}\\-2n(n+1)x+2(n+1)&{\frac {2n+1}{2n(n+1)}}\leq x<{\frac {1}{n}}\\0&altrove\end{matrix}}\right.$
Si tratta in sostanza di funzioni a capanna con massimo uguale a uno definite tra ${\frac {1}{n+1}}$ e ${\frac {1}{n}}$ . Tali funzioni sono tutte limitate (il massimo vale appunto uno), ma distano le une dalle altre sempre due in quanto dove una funzione è diversa da zero tutte le altre sono nulle.

Bibliografia

Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
Cesare Arzelà, Sulle funzioni di linee, in Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat., vol. 5, n. 5, 1895, pp. 55–74.
Cesare Arzelà, Un'osservazione intorno alle serie di funzioni, in Rend. Dell'Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna, 1882–1883, pp. 142–159.
Giulio Ascoli, Le curve limite di una varietà data di curve, in Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., vol. 18, n. 3, 1883–1884, pp. 521–586.
Maurice Fréchet, Sur quelques points du calcul fonctionnel, in Rend. Circ. Mat. Palermo, vol. 22, 1906, pp. 1–74, DOI:10.1007/BF03018603.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Ascoli-Arzelà theorem, in PlanetMath.

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[1] Una successione limitata che non ammette sottosuccessioni convergenti nella norma del massimo, per esempio, è la successione $f_{n}$ definita da:
$f_{n}=\left\{{\begin{matrix}2n(n+1)x-2n&{\frac {1}{n+1}}\leq x<{\frac {2n+1}{2n(n+1)}}\\-2n(n+1)x+2(n+1)&{\frac {2n+1}{2n(n+1)}}\leq x<{\frac {1}{n}}\\0&altrove\end{matrix}}\right.$
Si tratta in sostanza di funzioni a capanna con massimo uguale a uno definite tra ${\frac {1}{n+1}}$ e ${\frac {1}{n}}$ . Tali funzioni sono tutte limitate (il massimo vale appunto uno), ma distano le une dalle altre sempre due in quanto dove una funzione è diversa da zero tutte le altre sono nulle.

[1]