Teorema di Eulero (geometria)

In geometria euclidea, il nome di teorema di Eulero identifica almeno quattro teoremi diversi.

Teorema sulla retta di Eulero

Enunciato

In ogni triangolo l'ortocentro, il baricentro ed il circocentro sono allineati su una retta, detta retta di Eulero, e la distanza tra i primi due punti è doppia della distanza tra il baricentro ed il circocentro.^[1]

Teorema su un quadrilatero

Rappresentazione del problema di Eulero.

Enunciato

Sia $ABCD$ un quadrilatero qualunque, e siano $M$ ed $N$ i punti medi delle diagonali $AC$ e $BD$ . Allora:

{\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+{\overline {DA}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}+4\cdot {\overline {MN}}^{2}.

In altre parole, la somma dei quadrati delle lunghezze dei lati di un quadrilatero è pari alla somma dei quadrati delle lunghezze delle due diagonali del quadrilatero più 4 volte il quadrato della distanza tra i due punti medi delle diagonali.

Corollari

È interessante notare come questo teorema possa essere considerato una generalizzazione del teorema di Pitagora. Si può infatti giungere ad una formula che metta in relazione i lati di un triangolo qualunque e la sua mediana. Per dimostrarlo consideriamo un parallelogramma, che come tale ha le diagonali che si bisecano scambievolmente e i lati opposti uguali e quindi i due punti medi delle diagonali, coincidenti. Di conseguenza applicando il teorema di Eulero abbiamo che:

2\cdot {\overline {AB}}^{2}+2\cdot {\overline {BC}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}.

Quindi considerando il triangolo ${\overline {ACD}}$ con mediana ${\overline {DE}}$ abbiamo che:

{\overline {AD}}^{2}+{\overline {DC}}^{2}=2\cdot ({\overline {DE}}^{2}+{\overline {AE}}^{2}).

Quindi in ogni triangolo la somma dei quadrati costruiti su i due lati minori è uguale al doppio della somma dei quadrati costruiti sulla mediana e metà del terzo lato. Appunto considerando il caso del triangolo rettangolo si ha che la mediana è anche uguale a metà del terzo lato. La formula diventa quindi: