Teorema di Stone

Nella teoria dei gruppi, il teorema di Stone afferma che dato un gruppo ad un parametro fortemente continuo di operatori unitari $U(t)$ definiti sullo spazio di Hilbert $H,$ esiste un dominio denso $D(A)$ in $H$ in cui per ogni $\psi \in D(A)$ si ha

$\lim _{t\to \ 0}{\frac {U(t)-I}{it}}\psi ={\frac {1}{i}}{\frac {\mathrm {d} U(t)}{\mathrm {d} t}}\psi =A\psi ,$

con $A\colon D(A)\to H$ operatore autoaggiunto e $U(t)=e^{itA}.$

Una delle conseguenze più importanti di questo teorema è l'assioma dell'evoluzione degli stati puri in meccanica quantistica nel quale si afferma che l'evoluzione di uno stato puro, descritto da $\psi \in H.$

Un sistema isolato in meccanica quantistica è dato da $\psi (t)=U(t)\psi$ nel quale il proiettore è $U(t)=e^{\frac {-i{\mathrm {H} }t}{\hbar }}$ nel quale $\mathrm {H}$ è l'hamiltoniana quantistica che descrive l'energia del sistema.