Teorema di Tolomeo

Il Teorema di Tolomeo è un teorema della geometria euclidea che stabilisce la relazione fra i lati e le diagonali di un quadrilatero ciclico, ovvero un quadrilatero inscritto in una circonferenza. Il teorema compare nel libro primo dell'Almagesto di Claudio Tolomeo.

Il teorema di Tolomeo stabilisce la relazione fra lati e diagonali in un quadrilatero inscritto in una circonferenza.

Enunciato

Dato un quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza, vale la seguente relazione:

${\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {AD}},$

o, a parole,

Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza, la somma dei prodotti delle coppie di lati opposti è uguale al prodotto delle sue diagonali.

È anche vero il viceversa, ossia:

Se in quadrilatero la somma dei prodotti delle coppie di lati opposti è uguale al prodotto delle sue diagonali, allora il quadrilatero può essere inscritto in una circonferenza.

Dimostrazione

• Sia ABCD un quadrilatero ciclico.
• Si determini sulla diagonale AC il punto E, tale che l'angolo AEB sia congruente con l'angolo BCD.
• Osservando il disegno centrale, a destra, si vede che i triangoli AEB (giallo) e BCD (viola) sono simili; infatti gli angoli in C e in E sono uguali per costruzione, mentre gli angoli in A e D sono uguali in quanto angoli alla circonferenza che insistono sulla stessa corda BC. Di conseguenza, vale la relazione:

${\overline {AE}}:{\overline {CD}}={\overline {AB}}:{\overline {BD}}$

o, equivalentemente,

${\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}={\overline {AE}}\cdot {\overline {BD}}.$

• Osservando il disegno in basso, a destra, si vede che anche i triangoli BEC (giallo) e ABD (viola) sono simili; infatti gli angoli in B sono congruenti, come lo sono gli angoli in C e D, in quanto angoli alla circonferenza che insistono sulla stessa corda AB. Quindi si ha che:

${\overline {EC}}:{\overline {AD}}={\overline {BC}}:{\overline {BD}},$

da cui

${\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}={\overline {EC}}\cdot {\overline {BD}}.$

• Sommando membro a membro la seconda e la quarta equazione si ottiene:

${\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}={\overline {AE}}\cdot {\overline {BD}}+{\overline {EC}}\cdot {\overline {BD}}=\left({\overline {AE}}+{\overline {EC}}\right)\cdot {\overline {BD}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}.$

Voci correlate

• Disuguaglianza di Tolomeo

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Collegamenti esterni

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