Teorema di convergenza di Vitali

In analisi funzionale e teoria della misura, il teorema di convergenza di Vitali, il cui nome si deve a Giuseppe Vitali, è una generalizzazione del più noto teorema della convergenza dominata di Henri Lebesgue. Risulta utile quando non è possibile trovare la funzione "dominante" per la successione di funzioni considerata (se invece è possibile, il teorema della convergenza dominata segue come caso particolare).

Il teorema

Sia $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ uno spazio di misura con misura positiva. Se:

• $\mu (X)<\infty$
• $\{f_{n}\}$ è uniformemente integrabile
• $f_{n}(x)\to f(x)$ quasi ovunque per $n\to \infty$
• $|f(x)|<\infty$ quasi ovunque

allora si verifica:

• $f\in L^{1}(\mu )$
• $\lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|d\mu =0$

Viceversa, sia $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ uno spazio di misura con misura positiva. Se:

• $\mu (X)<\infty$
• $f_{n}\in L^{1}(\mu )$
• $\lim _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}d\mu$ esiste per ogni $E\in {\mathcal {F}}$

allora $\{f_{n}\}$ è uniformemente integrabile.

Dimostrazione

Per mostrare che $f\in L^{1}(\mu )$ si usa il lemma di Fatou:

$\int _{X}|f|d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}|d\mu$

Utilizzando l'integrabilità uniforme si ha che:

$\int _{E}|f_{n}|d\mu <1$

dove $E$ è un insieme tale che $\mu (E)<\delta$. Per il teorema di Egorov, inoltre, ${f_{n}}$ converge uniformemente sull'insieme $E^{C}$. Si ha:

$\int _{E^{C}}|f_{n}-f_{p}|d\mu <1$

per un $p$ abbastanza grande e per ogni $n>p$. Grazie alla disuguaglianza triangolare:

$\int _{E^{C}}|f_{n}|d\mu \leq \int _{E^{C}}|f_{p}|d\mu +1=M$

Applicando tale limite sul membro di destra del lemma di Fatou si ottiene quindi che $f\in L^{1}(\mu )$.

Per mostrare che $\lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|d\mu =0$ si utilizza il fatto che:

$\int _{X}|f-f_{n}|d\mu \leq \int _{E}|f|d\mu +\int _{E}|f_{n}|d\mu +\int _{E^{C}}|f-f_{n}|d\mu$

dove $E\in X$ e $\mu (E)<\delta$. I termini al membro di destra sono limitati rispettivamente per quanto detto sopra, per l'integrabilità uniforme di $f_{n}$, e per il teorema di Egorov (per tutti gli $n>N$).

Bibliografia

• (EN) Gerald B. Folland, Real analysis, Pure and Applied Mathematics (New York), Second edition, New York, John Wiley & Sons Inc., 1999, pp. xvi+386, ISBN 0-471-31716-0.
• (EN) Jeffrey S. Rosenthal, A first look at rigorous probability theory, Second edition, Hackensack, NJ, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2006, pp. xvi+219, ISBN 978-981-270-371-2.

Voci correlate

• Integrabilità uniforme
• Teorema della convergenza dominata

Collegamenti esterni

• (EN) Vitali convergence theorem, in PlanetMath.