Teorema di limitatezza

Il teorema di limitatezza è un teorema di analisi matematica che assume forme diverse a seconda del contesto, e afferma che un oggetto che ha un limite è necessariamente limitato. Si applica generalmente a successioni e funzioni.

Successioni

Enunciato

Il teorema di limitatezza per successioni di numeri reali afferma che

Una successione $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ di numeri reali, convergente ad un limite finito $l$, è limitata, esiste cioè un numero reale $K$ tale che $|a_{n}|\leq K$ per ogni $n$.

Dimostrazione

Dalla definizione di limite, prendendo $\epsilon =1$, si deduce che esiste un $N$ tale che $a_{n}$ è nell'intervallo limitato $[l-1,l+1]$ per ogni $n>N$: quindi la sottosuccessione formata da tutti i termini $a_{n}$ con $n>N$ è limitata.

La successione completa $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ è ottenuta da questa aggiungendo un numero finito di termini $a_{1},\ldots ,a_{N}$, e quindi è anch'essa limitata. Concretamente, $K$ si ottiene come

$K=\max\{|a_{1}|,\ldots ,|a_{N}|,|l-1|,|l+1|\}.$

Funzioni

Enunciato

Il teorema di limitatezza per funzioni, solitamente chiamato teorema di limitatezza locale, afferma che

Sia $f:X\to \mathbb {R}$ una funzione definita su un aperto $X$ dei numeri reali che ha un limite finito in un punto $x_{0}$ di accumulazione per $X$.

Allora esiste un intorno $U$ di $x_{0}$ tale che $f(U\cap X)$ è un insieme limitato di $\mathbb {R}$. Esiste cioè un numero $K>0$ tale che il valore assoluto $|f(x)|<K$ per ogni $x$ in $U\cap X$.