Teorema di isomorfismo
In matematica ci sono vari teoremi di isomorfismo, che asseriscono generalmente che alcuni insiemi dotati di opportune strutture algebriche sono isomorfe.
Teoria dei gruppi
modificaIn teoria dei gruppi ci sono tre teoremi d'isomorfismo, che valgono anche, con opportune modifiche, per anelli e moduli. I teoremi furono formulati originariamente da Richard Dedekind; successivamente Emmy Noether li rese più generali nell'articolo Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl und Funktionenkörpern pubblicato nel 1927 in Mathematische Annalen, per essere poi sviluppati nella forma moderna da Bartel Leendert van der Waerden nel suo libro Algebra.
Primo teorema d'isomorfismo
modificaSe è un omomorfismo fra due gruppi e , allora il nucleo di è un sottogruppo normale di , ed il gruppo quoziente è isomorfo all'immagine di . In simboli:
L'isomorfismo è canonico, indotto dalla mappa : la classe è mandata in .
Questo teorema è detto teorema fondamentale di omomorfismo.
Proprietà universale del conucleo
modificaSe è un omomorfismo e è un sottogruppo normale di contenuto in , esiste un unico omomorfismo tale che
dove è la proiezione canonica .
Secondo teorema d'isomorfismo (teorema del diamante)
modificaSiano e due sottogruppi di un gruppo , con sottogruppo normale. Allora il sottoinsieme prodotto
è anch'esso un sottogruppo di , e inoltre:
- è normale anche in ,
- è normale in ,
L'isomorfismo è canonico, indotto dalla mappa
Terzo teorema d'isomorfismo
modificaSiano due sottogruppi normali di con contenuto in . Vale il seguente isomorfismo:
Anche questo isomorfismo è canonico.
Teoria dei numeri
modificaIn teoria dei numeri, esiste il seguente teorema d'isomorfismo di Ax-Kochen. Il teorema afferma che se e sono terne di Peano allora esiste una mappa tale che:
- è biiettiva;
- ;
- .