Teoria degli insiemi di Tarski-Grothendieck
La teoria degli insiemi di Tarski-Grothendieck (TG) è una teoria assiomatica degli insiemi così chiamata in riferimento ai matematici Alfred Tarski e Alexander Grothendieck. Essa è caratterizzata dall'Assioma di Tarski ed è un'estensione non-conservativa della teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel.
Assiomi
modificaI primi assiomi di TG sono uguali alle loro controparti di ZF:
- I quantificatori logici spaziano solo su insiemi; Qualsiasi cosa è un insieme (la stessa ontologia di ZFC).
- Assioma di estensionalità: Due insiemi sono identici se e solo se hanno gli stessi elementi.
- Assioma dell'insieme vuoto: Esiste un insieme di cui nessun altro insieme è elemento.
- Assioma di regolarità: Nessun insieme è elemento di se stesso e catene circolari di appartenenza non sono possibili.
- Assioma di rimpiazzamento: L'immagine di una funzione è un insieme.
Come già detto l'assioma caratterizzante della teoria è il seguente: Assioma di Tarski (adattato da Tarski 1939[1]): Per ogni insieme esiste un insieme tale che
- .
- Per ogni ogni sottoinsieme di è un elemento di .
- Per ogni l'insieme della parti di è un elemento di .
- Ogni sottoinsieme di la cui cardinalità è inferiore di quella di è un elemento di .
Quest'ultimo implica l'assioma della coppia, l'assioma dell'insieme potenza, l'assioma dell'unione, assioma dell'infinito e l'assioma della scelta[2][3]; dunque rende TG molto più forte di ZFC.
Note
modifica- ^ Tarski (1939)
- ^ Tarski (1938)
- ^ WELLORD2: Zermelo Theorem and Axiom of Choice. The correspondence of well ordering relations and ordinal numbers
Bibliografia
modifica- Blass, Andreas, Dimitriou, I. M., and Löwe, Benedikt (2007) "Inaccessible Cardinals without the Axiom of Choice," Fundamenta Mathematicae 194: 179-89.
- (FR) Nicolas Bourbaki, Univers, in Michael Artin, Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier, eds. (a cura di), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963-64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas – (SGA 4) – vol. 1 (Lecture notes in mathematics 269), Berlin; New York, Springer-Verlag, 1972, pp. 185–217. URL consultato il 24 gennaio 2012 (archiviato dall'url originale il 26 agosto 2003).
- Patrick Suppes (1960) Axiomatic Set Theory. Van Nostrand. Dover reprint, 1972.
- Alfred Tarski, Über unerreichbare Kardinalzahlen (PDF), in Fundamenta Mathematicae, vol. 30, 1938, pp. 68–89.
- Alfred Tarski, On the well-ordered subsets of any set (PDF), in Fundamenta Mathematicae, vol. 32, 1939, pp. 176–183.
Collegamenti esterni
modifica- Trybulec, Andrzej, 1989, "Tarski–Grothendieck Set Theory", Journal of Formalized Mathematics.
- Metamath: "Proof Explorer Home Page." Scroll down to "Grothendieck's Axiom."
- PlanetMath: "Tarski's Axiom"