Teoria dei grafi

In matematica, informatica e, più in particolare, geometria combinatoria, la teoria dei grafi è la disciplina che si occupa dello studio dei grafi, oggetti discreti che permettono di schematizzare una grande varietà di situazioni e processi, e spesso di consentirne delle analisi in termini quantitativi e algoritmici.

Un diagramma di un grafo non orientato con 6 vertici e 7 spigoli.

Storia

Rappresentazione del problema dei ponti di Königsberg.

Il primo testo che prende in considerazione i grafi come entità matematiche è la pubblicazione di Eulero sui "Sette ponti di Königsberg". Questo testo rappresenta anche la prima volta in cui viene affrontato un problema di geometria topologica, che non dipende da alcuna misurazione: il problema dei ponti di Königsberg.

Nel XIX secolo è stato posto e discusso il problema dei quattro colori, rivelatosi molto impegnativo e risolto solo nella seconda metà del XX secolo. È stato anche introdotto il problema dei cammini hamiltoniani. Fino a metà del XX secolo poco altro è stato scoperto.

Nella seconda metà del XX secolo gli studi e i risultati si sono sviluppati ampiamente, in sintonia con i forti sviluppi della combinatoria e del calcolo automatico. L'introduzione del computer ha consentito da un lato lo sviluppo di indagini sperimentali sui grafi (come, in particolare, nella dimostrazione del teorema dei quattro colori) e dall'altro ha richiesto alla teoria dei grafi di indagare su algoritmi e modelli di forte impatto applicativo. Nel giro di cinquant'anni la teoria dei grafi è diventata un capitolo della matematica molto sviluppato, ricco di risultati profondi e con forti influenze applicative.

Rappresentazione

In termini informali, per grafo si intende una struttura costituita da:

• oggetti semplici, detti vertici o nodi;
• collegamenti tra i vertici; tali collegamenti possono essere:
  • non orientati (cioè dotati di una direzione, ma non dotati di un verso): in questo caso sono detti spigoli, e il grafo è detto "non orientato";
  • orientati (cioè dotati di una direzione e di un verso): in questo caso sono detti archi o cammini, e il grafo è detto "orientato" o digrafo;
  • eventuali dati associati a nodi e/o collegamenti; un grafo pesato è un esempio di grafo in cui a ogni collegamento è associato un valore numerico, detto "peso".

Un grafo viene generalmente raffigurato sul piano da punti o cerchietti, che rappresentano i nodi; i collegamenti tra i vertici sono rappresentati da segmenti o curve che collegano due nodi; nel caso di un grafo orientato, il verso degli archi è indicato da una freccia.

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  Esempio di grafo orientato
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  Esempio di grafo pesato

Il posizionamento dei nodi e la forma degli archi o spigoli è irrilevante, dal momento che a contare sono solo i nodi e le relazioni tra essi. In altri termini, lo stesso grafo può essere disegnato in molti modi diversi senza modificarne le proprietà.

Per un approfondimento sulla terminologia specifica della teoria dei grafi, si può consultare il glossario di teoria dei grafi.

Applicazioni

Le strutture che possono essere rappresentate da grafi sono presenti in molte discipline e molti problemi di interesse pratico possono essere formulati come questioni relative a grafi. In particolare, le reti possono essere descritte in forma di grafi. Ad esempio, la struttura dei link di Wikipedia, come tutti gli ipertesti, può essere rappresentata da un grafo orientato, dove i vertici sono gli articoli e gli archi rappresentano l'esistenza di un collegamento da un articolo all'altro.

I grafi orientati sono anche utilizzati per rappresentare le macchine a stati finiti e molti altri formalismi, come ad esempio diagrammi di flusso, catene di Markov, schemi entità-relazione e reti di Petri.

Lo sviluppo di algoritmi per manipolare i grafi è una delle aree di maggiore interesse dell'informatica.

Bibliografia

• (EN) K. Thulasiraman, M. N. S. Swamy (1992): Graphs: Theory and Algorithms, J.Wiley
• (EN) Béla Bollobás (1998): Modern Graph Theory, Springer, ISBN 0-387-98488-7
• (EN) Lowell W. Beineke, Robin J. Wilson, Peter J. Cameron, eds (2004): Topics in Algebraic Graph Theory, Cambridge University Press
• (EN) D. Cvetković, P. Rowlison, S. Simić (1997): Eigenspaces of Graphs, Cambridge University Press *
• (EN) Reinhard Diestel (2005): Graph Theory, 3rd edition, Springer, ISBN 3-540-26182-6. Anche disponibile liberamente in PDF

Voci correlate

• 05Cxx: sigla della sezione della MSC dedicata teoria dei grafi.
• Albero (grafo)
• Calcolo combinatorio
• Complessità computazionale
• Ottimizzazione combinatoria
• Automa a stati finiti
• Grammatica formale
• Linguaggi di Lindenmayer
• Teoria dei giochi
• Teoria del mondo piccolo
• Diagramma di flusso
• Organigramma
• Rete (matematica)
• Albero genealogico
• Schema di classificazione
• Problema dei ponti di Königsberg
• Problema del postino cinese
• Sei gradi di separazione
• Teoria chimica dei grafi

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Collegamenti esterni

• (EN) Stephan C. Carlson, graph theory, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Teoria dei grafi, su MathWorld, Wolfram Research.