Topologia di Krull

La topologia di Krull è la topologia che più spesso viene messa sul gruppo di Galois di un'estensione di campi, in modo da renderlo un gruppo topologico. Nel caso di estensioni di Galois finite, tale topologia è solitamente di poco interesse e coincide con la discreta, per cui essa si rivela particolarmente importante nello studio di estensioni di Galois infinite.

Definizione

Indicheremo d'ora in poi con $L/K$ l'estensione di campi $K\subseteq L$ . Diciamo che $L/K$ è di Galois se è un'estensione algebrica normale e separabile, e denotiamo con $Gal(L/K)$ il suo gruppo di Galois.

Se $L/K$ è di Galois infinita, sia

$${\mathcal {F}}\colon =\lbrace F\quad {\text{campo}}|K\subseteq F\subseteq L\quad {\text{e}}\quad F/K\quad {\text{finita}}\rbrace$$

l'insieme delle sottoestensioni finite di $L/K$.

Possiamo immergere $Gal(L/K)$ nel prodotto diretto di gruppi ${\textstyle \prod _{F\in {\mathcal {F}}}Gal(F/K)}$ nel seguente modo: per ogni $F\in {\mathcal {F}}$ sia $\pi _{F}\colon Gal(L/K)\to Gal(F/K)$ la mappa che porta ogni automorfismo $\sigma \in Gal(L/K)$ nella sua restrizione $\sigma |_{F}\in Gal(F/K)$, e sia ${\textstyle \rho \colon Gal(L/K)\to \prod _{F\in {\mathcal {F}}}Gal(F/K)}$ la mappa che porta ogni $\sigma \in Gal(L/K)$ nella successione delle sue restrizioni agli $F\in {\mathcal {F}}$, cioè ${\textstyle \rho (\sigma )=(\sigma _{F})_{F\in {\mathcal {F}}}}$.

Allora, la $\rho$ è iniettiva e, per il primo teorema di isomorfismo, la sua immagine è isomorfa a $Gal(L/K)$.

Definiamo ora una topologia come segue:

• su ciascun gruppo $Gal(F/K)$ mettiamo la topologia discreta;
• sul prodotto ${\textstyle \prod _{F\in {\mathcal {F}}}Gal(F/K)}$ mettiamo la topologia prodotto;
• sull'immagine di $\rho$ contenuta nel prodotto mettiamo la topologia di sottospazio;

• infine, su $Gal(L/K)$ mettiamo la topologia indotta da $\rho$ come isomorfismo di gruppi, cioè la meno fine topologia che renda $\rho$ un omeomorfismo.

La topologia così ottenuta è la topologia di Krull sul gruppo di Galois.

Una definizione alternativa

La topologia di Krull si definisce, alternativamente, in un modo meno costruttivo e più astratto, tuttavia utile nelle applicazioni.

Sia ${\mathcal {G}}=\lbrace Gal(F/K)|F\in {\mathcal {F}}\rbrace$ la famiglia dei gruppi di Galois delle sottoestensioni $F\in {\mathcal {F}}$ su $K$, la ${\mathcal {F}}$ definita come sopra. Possiamo dotare la ${\mathcal {G}}$ di una famiglia di mappe, corrispondenti alle restrizioni degli automorfismi, nel seguente modo: se $F_{1},F_{2}\in {\mathcal {F}}$ e $F_{1}\subseteq F_{2}$, allora ${\text{res}}_{F_{1},F_{2}}\colon Gal(F_{2}/K)\to Gal(F_{1}/K)$ porta ogni automorfismo $\sigma \in Gal(F_{2}/K)$ in $\sigma |_{F_{1}}$ la sua restrizione su $F_{1}$. Si noti che tale restrizione è ben definita, perché $F_{1}/K$ è un'estensione normale per ipotesi.

La ${\mathcal {G}}$, dotata delle mappe di restrizione così definite, diventa un sistema proiettivo. Anche se finora si è parlato solo di gruppi, i $Gal(F/K)$ con $F\in {\mathcal {F}}$ sono in realtà gruppi topologici, se su di essi si mette la topologia discreta. Allora, la ${\mathcal {G}}$ con le restrizioni è in realtà un sistema proiettivo di gruppi topologici. Il suo limite inverso è un gruppo topologico: come gruppo, si vede essere proprio $Gal(L/K)$. La topologia, limite inverso delle topologie discrete sui $Gal(F/K)\in {\mathcal {G}}$, che risulta posta su $Gal(L/K)$ si dice per definizione la topologia di Krull.

Prime proprietà

Si può dimostrare che $Gal(L/K)$ con la topologia di Krull è T2, compatto e totalmente sconnesso. Questi risultati derivano facilmente dall'osservazione che una base è data dalle classi laterali $\sigma _{F}Gal(L/F)$ dei nuclei delle $\pi _{F}$.

Altre proprietà importanti sono:

• $Gal(L/K)$ è un gruppo topologico con la topologia di Krull, cioè la moltiplicazione e il passaggio all'inversa sono mappe continue;
• un sistema di intorni di $1_{Gal(L/K)}$ è dato dai gruppi $Gal(L/F)$;
• per continuità del prodotto, segue che un sistema di intorni $\sigma$ è dato dai $\sigma Gal(L/F)$ al variare di $F\in {\mathcal {F}}$.

Bibliografia

• Siegfried Bosch, Algebra, in Unitext, traduzione di Alessandra Bertapelle, Milano: Springer-Verlag Italia, 2003, ISBN 88-470-0221-4.