In matematica, in particolare in analisi funzionale, una topologia polare consente di definire una topologia localmente convessa su una coppia di spazi vettoriali duali (in generale relazionati mediante una forma bilineare).

Definizione

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Sia   una coppia duale, cioè una tripla formata da due spazi vettoriali   e   sullo stesso campo   (dei numeri reali o complessi), e da una forma bilineare   tale che:

  •  
  •  

Un insieme   è un insieme limitato in   rispetto a   se per ogni elemento   l'insieme dei valori   è limitato in  :

 

Tale condizione è equivalente alla richiesta che l'insieme polare   dell'insieme   in  :

 

sia un insieme assorbente in  , ovvero:

 

Sia ora   una famiglia di insiemi limitati di   (limitati rispetto a  ) che soddisfi le seguenti proprietà:

  • Ogni punto   di   appartiene a qualche insieme  :  .
  • Ogni coppia di insiemi   e   è contenuta in qualche insieme  :  .
  •   è chiusa rispetto alla moltiplicazione per scalare:
 

Allora la seminorma:

 

definisce una topologia di Hausdorff localmente convessa su  , la topologia polare su   generata dalla famiglia di insiemi  . Gli insiemi:

 

formano una base locale di questa topologia. Una rete di elementi   tende a un elemento   rispetto a questa topologia se e solo se:

 

A causa di ciò, la topologia polare è spesso detta topologia della convergenza uniforme degli insiemi di  . La seminorma   è il gauge dell'insieme polare  .

Bibliografia

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Voci correlate

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