Topologie operatoriali debole e forte

In matematica, in particolare in analisi funzionale, le topologie operatoriali debole e forte sono due topologie operatoriali sull'insieme ${\mathcal {L}}(X,Y)$ degli operatori limitati tra due spazi di Hilbert $(X,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{X})$ e $(Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{Y})$. Come suggerito dal nome, la topologia operatoriale debole è più debole della topologia operatoriale forte.

Definizioni

Topologia operatoriale debole

La topologia operatoriale debole è la topologia più debole su ${\mathcal {L}}(X,Y)$ tale che il funzionale che manda un operatore limitato $T\in {\mathcal {L}}(X,Y)$ in $\ell (Tx)$ risulti continuo per ogni $x\in X$ e $\ell \in Y^{*}$, dove $Y^{*}$ denota lo spazio duale $Y$. Per il teorema di rappresentazione di Riesz, una base di intorni di un operatore limitato $T$ è data dalla famiglia di insiemi

$\{V:X\to Y{\text{ operatore limitato}}\mid |\langle V(x)-T(x),y\rangle _{Y}|<\varepsilon \ \forall (x,y)\in S\}$

al variare di $\varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}$ e di $S\subset X\times Y$ di cardinalità finita.

La topologia operatoriale debole non va confusa con la topologia debole per spazi di Banach su ${\mathcal {L}}(X,Y)$. Questa infatti è la topologia più debole che rende continui tutti i funzionali lineari limitati su ${\mathcal {L}}(X,Y)$, non solo quelli della forma $T\mapsto \ell (Tx)$.

Topologia operatoriale forte

La topologia operatoriale forte è la topologia più debole su ${\mathcal {L}}(X,Y)$ tale che il funzionale che manda un operatore limitato $T:X\to Y$ in $Tx$ risulti continuo per ogni $x\in X$. Una base di intorni di un operatore limitato $T$ è data dalla famiglia di insiemi

$\{V:X\to Y{\text{ operatore limitato}}\mid \|V(x)-T(x)\|_{Y}<\varepsilon \ \forall x\in S\}$

al variare di $\varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}$ e di $S\subset X$ di cardinalità finita.

Bibliografia

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Bounded Operators, in Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.