Trasformata di Mellin

La trasformata di Mellin, il cui nome deriva dal matematico finlandese Hjalmar Mellin, è una trasformata integrale che può essere considerata la versione moltiplicativa della trasformata di Laplace bilatera.

Definizione

La trasformata di Mellin di una funzione $f$ è data da:

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)dx$

Se le condizioni poste dal teorema di inversione di Mellin sono soddisfatte si può definire la trasformata inversa di Mellin:

$\left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds$

dove l'integrale di linea è valutato lungo una linea verticale nel piano complesso.

Relazione con le altre trasformate

La trasformata di Mellin può essere definita attraverso la trasformata di Laplace bilatera come:

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f(e^{-x})\right\}(s)$

e viceversa, la trasformata di Laplace bilatera può essere definita a partire dalla trasformata di Mellin nel seguente modo:

$\left\{{\mathcal {L}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)$

La trasformata di Laplace bilatera integra rispetto alla misura di Haar additiva $dx$, che è invariante sotto traslazione:

$d(x+a)=dx$

mentre la trasformata di Mellin può essere vista come un'integrazione che utilizza il nucleo integrale $x^{s}$ rispetto alla misura di Haar moltiplicativa $dx/x$, che è invariante rispetto ad una dilatazione del tipo $x\mapsto ax$, e dunque:

${\frac {d(ax)}{ax}}={\frac {dx}{x}}$

La trasformata di Mellin si può anche definire in termini della trasformata di Fourier:

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is)$

e viceversa:

$\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {L}}f\right\}(-is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)$

Bibliografia

• (EN) A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger e F. Tricomi Tables of Integral transforms v. 1 (McGrawHill, NY, 1954)
• (EN) A. H. Zemanian Generalized Integral Transformations cap. 4 (John Wiley & Sons, 1968)
• (EN) I. N. Sneddon Fourier Transforms cap. 1 (Dover, NY, 1995)
• (EN) R. B. Paris e D. Kaminski, Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001.
• (EN) A. D. Polyanin e A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, Boca Raton, CRC Press, 1998, ISBN 0-8493-2876-4.
• (EN) P. Flajolet, X. Gourdon e P. Dumas, Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums, in Theoretical Computer Science, vol. 144, n. 1-2, 1995, pp. 3–58.
• (EN) Janos Galambos e Italo Simonelli, Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions, Marcel Dekker, Inc., 2004, ISBN 0-8247-5402-6.

Voci correlate

• Teorema di inversione di Mellin
• Trasformata di Fourier
• Trasformata di Laplace

Collegamenti esterni

• (EN) Mellin Transform and Its Applications (Università Purdue)
• (EN) Trasformata di Mellin (MathWorld)
• (EN) Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• (EN) Trasformata di Mellin (EqWorld)
• (EN) G. L. Porter http://handle.dtic.mil/100.2/ADA319175 (Tesi di Laurea, Air Force Institute of Technology, Wright Paterson, OH, 1997)
• (EN) T. A. Loughlin A table of distributional Mellin transforms (State University of New York, Stony Brook, 1965)
• (EN) A. H. Zemanian The distributional Laplace and Mellin transformations (State University of New York, Stony Brook, 1964)
• (EN) Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums.
• (ES) Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico, newsgroup es.ciencia.matematicas
• (ES) Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas Archiviato il 29 gennaio 2007 in Internet Archive. (in Spanish).
• (EN) Mellin Transform Methods, Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology
• (EN) Antonio De Sena and Davide Rocchesso, A FAST MELLIN TRANSFORM WITH APPLICATIONS IN DAFX