Trasformata inversa di Laplace
In matematica, la trasformata inversa di Laplace o antitrasformata di Laplace è l'inversa della trasformata di Laplace. Entrambe hanno importanti applicazioni nello studio/analisi dei sistemi dinamici lineari.
Definizione
modificaDetta la trasformata di Laplace, l'antitrasformata di Laplace di una funzione è la funzione tale che:
Si prova che se una funzione ha trasformata inversa , ovvero è una funzione continua a tratti che soddisfa la condizione precedente, allora è univocamente determinata.
Una formulazione integrale dell'antitrasformata di Laplace, chiamata anche integrale di Bromwich o formula inversa di Mellin, è data dall'integrale di linea:
dove l'integrazione avviene lungo la linea verticale nel piano complesso, con maggiore della parte reale di tutte le singolarità di . Questo assicura che la linea di contorno è nella regione di convergenza. Se tutte le singolarità di sono dalla parte sinistra del piano complesso o se non ha singolarità, allora può essere preso nullo e la formula diventa uguale alla trasformata di Fourier inversa. Infatti, se , si ha
Bibliografia
modifica- (EN) B. J. Davies, Integral transforms and their applications, 3rd, Berlin, New York, Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0-387-95314-4.
- (EN) A. V. Manzhirov e Andrei D. Polyanin, Handbook of integral equations, Londra, CRC Press, 1998, ISBN 978-0-8493-2876-3.
- (EN) K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Mathematical methods for physics and engineering, 3rd, Cambridge University Press, 2010, p. 455, ISBN 978-0-521-86153-3.
Voci correlate
modificaCollegamenti esterni
modifica- (EN) Mellin's inverse formula, in PlanetMath.
- Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- Rational inversion of the Laplace Transform, su jaranet.us. URL consultato l'11 luglio 2009 (archiviato dall'url originale il 30 agosto 2009).