Trasformazione di Möbius

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In geometria, una trasformazione di Möbius è una funzione

dove e sono numeri complessi con .

La funzione è definita sulla sfera di Riemann, ed è un ingrediente fondamentale della geometria proiettiva e dell'analisi complessa. Si usano anche i termini trasformazione omografica e trasformazione lineare fratta. Il nome è legato al matematico August Ferdinand Möbius.

Definizione

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Una trasformazione di Möbius è una funzione

 

definita sulla sfera di Riemann

 

della forma

 

con determinante diverso da zero

 

Automorfismi della sfera di Riemann

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La condizione sul determinante è necessaria affinché la funzione sia effettivamente definita su tutta la sfera di Riemann. Valgono in particolare le relazioni

 
 
 

Rappresentazione tramite matrici

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La trasformazione   è determinata dalla matrice

 

Poiché ha determinante non nullo, la matrice è invertibile. Quindi è un elemento del gruppo generale lineare   composto da tutte le matrici complesse invertibili  .

La rappresentazione tramite matrici è molto comoda, in virtù del fatto seguente: la composizione di due trasformazioni di Möbius, descritte dalle matrici   e  , è anch'essa una trasformazione di Möbius, descritta dalla matrice  .

Automorfismo

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La descrizione tramite matrici mostra che ogni trasformazione di Möbius è una funzione biettiva dalla sfera di Riemann in sé. Infatti, una trasformazione associata alla matrice   ha una inversa, associata alla matrice inversa  .

Per questo motivo una trasformazione di Möbius è chiamata automorfismo. Le trasformazioni di Möbius formano un gruppo, indicato con

 

Struttura di gruppo

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La rappresentazione matriciale fornisce un omomorfismo di gruppi

 

L'omomorfismo è suriettivo ma non iniettivo: il nucleo consiste infatti di tutte le matrici della forma  , dove   è la matrice identità e   è un numero complesso. Il primo teorema d'isomorfismo fornisce quindi un isomorfismo di gruppi

 

dove   se e solo se   per qualche  . Il quoziente è indicato con una "P" davanti, perché questa costruzione è identica a quella dello spazio proiettivo di uno spazio vettoriale.

Proprietà basilari

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Trasformazioni elementari

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Ogni automorfismo di Möbius è ottenuto componendo alcune trasformazioni elementari di questo tipo:

  1.        (traslazione)
  2.           (inversione)
  3.             (omotetia e rotazione)

La traslazione tiene fisso il punto all'infinito e trasla tutti i punti del piano complesso. L'inversione scambia i punti   e  . A proposito della terza trasformazione, scrivendo   in coordinate polari

 

si verifica che è una rotazione di angolo  , composta con una omotetia di fattore  .

Mappe conformi

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Un automorfismo di Möbius è una mappa conforme, una mappa cioè che preserva gli angoli. Infatti, ciascuna delle trasformazioni elementari descritte preserva gli angoli. Un automorfismo però non preserva lunghezze o aree.

Rette e circonferenze

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L'inversione   manda l'infinito in zero, e quindi le rette (che sono circonferenze passanti per l'infinito) in circonferenze e rette passanti per l'origine.

Una circonferenza nella sfera di Riemann   è una circonferenza di  , oppure una retta di   completata con il punto all'infinito.

L'immagine   di una circonferenza   tramite una funzione di Möbius   è un'altra circonferenza. Le trasformazioni di Möbius mandano quindi circonferenze in circonferenze.

Questa proprietà è verificata dalle trasformazioni elementari (traslazioni, inversioni, rotazioni, omotetie), e per questo motivo è verificata da qualsiasi trasformazione.

Birapporto

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Una trasformazione di Möbius   preserva il birapporto   di quattro punti della sfera di Riemann. Vale cioè la relazione

 

Funzione meromorfa

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Con il linguaggio dell'analisi complessa, un automorfismo di Möbius è una particolare funzione meromorfa, avente un polo in   di ordine 1.

Trasformazione proiettiva

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Con il linguaggio della geometria proiettiva, la sfera di Riemann è identificata con la retta proiettiva complessa   tramite la mappa

 
 

Con questa identificazione, le trasformazioni di Möbius sono esattamente gli isomorfismi proiettivi della retta proiettiva complessa.

Voci correlate

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Altri progetti

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Collegamenti esterni

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