Un vettore A nello spazio euclideo 3D R 3 può essere espresso nel familiare sistema di coordinate cartesiane nelle basi standard e x e y e z coordinate A x , A y , A z :
A
=
A
x
e
x
+
A
y
e
y
+
A
z
e
z
{\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {e} _{x}+A_{y}\mathbf {e} _{y}+A_{z}\mathbf {e} _{z}}
(Template:EquationRef )
o qualsiasi altro sistema di coordinate con un insieme di vettori di base associato. Da questo estendi gli scalari per consentire la moltiplicazione per numeri complessi, in modo che ora stiamo lavorando in
C
3
{\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
Nelle basi sferiche indicate con e + , e − , e 0 , e coordinate associate rispetto a tale base, indicate con A + , A − , A 0 , il vettore A è:
A
=
A
+
e
+
+
A
−
e
−
+
A
0
e
0
{\displaystyle \mathbf {A} =A_{+}\mathbf {e} _{+}+A_{-}\mathbf {e} _{-}+A_{0}\mathbf {e} _{0}}
(Template:EquationRef )
dove i vettori di base sferica possono essere definiti in termini di base cartesiana utilizzando coefficienti a valori complessi nel piano xy [ 1]
e
+
=
−
1
2
e
x
−
i
2
e
y
e
−
=
+
1
2
e
x
−
i
2
e
y
⇌
e
±
=
∓
1
2
(
e
x
±
i
e
y
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{+}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{x}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{-}&=+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{x}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{y}\\\end{aligned}}\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {e} _{\pm }=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\mathbf {e} _{x}\pm i\mathbf {e} _{y}\right)\,}
(Template:EquationRef )
in cui i denota l' unità immaginaria e una normale al piano nella direzione z:
e
0
=
e
z
{\displaystyle \mathbf {e} _{0}=\mathbf {e} _{z}}
Le relazioni inverse sono:
e
x
=
−
1
2
e
+
+
1
2
e
−
e
y
=
+
i
2
e
+
+
i
2
e
−
e
z
=
e
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{x}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{+}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e_{-}} \\\mathbf {e} _{y}&=+{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{+}+{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e_{-}} \\\mathbf {e} _{z}&=\mathbf {e} _{0}\end{aligned}}}
(Template:EquationRef )
Mentre dare una base in uno spazio tridimensionale è una definizione valida per un tensore sferico, copre solo il caso in cui il rango
k
{\displaystyle k}
T
q
(
k
)
{\displaystyle T_{q}^{(k)}}
[
J
±
,
T
q
(
k
)
]
=
ℏ
(
k
∓
q
)
(
k
±
q
+
1
)
T
q
±
1
(
k
)
{\displaystyle [J_{\pm },T_{q}^{(k)}]=\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}T_{q\pm 1}^{(k)}}
[
J
z
,
T
q
(
k
)
]
=
ℏ
q
T
q
(
k
)
{\displaystyle [J_{z},T_{q}^{(k)}]=\hbar qT_{q}^{(k)}}
Analogamente a come le armoniche sferiche si trasformano sotto una rotazione, un tensore sferico generale si trasforma come segue, quando gli stati si trasformano sotto la matrice D di Wigner unitaria
D
(
R
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}(R)}
algebra di Lie , si può dimostrare che queste due definizioni sono equivalenti.
D
(
R
)
T
q
(
k
)
D
†
(
R
)
=
∑
q
′
=
−
k
k
T
q
′
(
k
)
D
q
′
q
(
k
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}(R)T_{q}^{(k)}{\mathcal {D}}^{\dagger }(R)=\sum _{q'=-k}^{k}T_{q'}^{(k)}{\mathcal {D}}_{q'q}^{(k)}}
Per la base sferica, le coordinate sono numeri a valori complessi A + , A 0 , A − , e possono essere trovate sostituendo ( 3B ) in ( 1 ), o calcolate direttamente dal prodotto interno ⟨, ⟩ ( 5 ):
A
+
=
⟨
A
,
e
+
⟩
=
−
A
x
2
+
i
A
y
2
A
−
=
⟨
A
,
e
−
⟩
=
+
A
x
2
+
i
A
y
2
⇌
A
±
=
⟨
e
±
,
A
⟩
=
1
2
(
∓
A
x
+
i
A
y
)
{\displaystyle {\begin{aligned}A_{+}&=\left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {e} _{+}\right\rangle =-{\frac {A_{x}}{\sqrt {2}}}+{\frac {iA_{y}}{\sqrt {2}}}\\A_{-}&=\left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {e} _{-}\right\rangle =+{\frac {A_{x}}{\sqrt {2}}}+{\frac {iA_{y}}{\sqrt {2}}}\\\end{aligned}}\quad \rightleftharpoons \quad A_{\pm }=\left\langle \mathbf {e} _{\pm },\mathbf {A} \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\mp A_{x}+iA_{y}\right)}
(Template:EquationRef )
A
0
=
⟨
e
0
,
A
⟩
=
⟨
e
z
,
A
⟩
=
A
z
{\displaystyle A_{0}=\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {A} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{z},\mathbf {A} \right\rangle =A_{z}}
con relazioni inverse:
A
x
=
−
1
2
A
+
+
1
2
A
−
A
y
=
−
i
2
A
+
−
i
2
A
−
A
z
=
A
0
{\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}A_{+}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}A_{-}\\A_{y}&=-{\frac {i}{\sqrt {2}}}A_{+}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}A_{-}\\A_{z}&=A_{0}\end{aligned}}}
(Template:EquationRef )
In generale, per due vettori con coefficienti complessi nella stessa base ortonormale a valori reali e i e i e j δ ij , il prodotto interno è:
⟨
a
,
b
⟩
=
a
⋅
b
⋆
=
∑
j
a
j
b
j
⋆
{\displaystyle \left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\star }=\sum _{j}a_{j}b_{j}^{\star }}
(Template:EquationRef )
dove · è il solito prodotto scalare e il complesso coniugato * deve essere usato per mantenere definita positiva la grandezza (o "norma") del vettore.
La base sferica è una base ortonormale , poiché il prodotto interno ⟨, ⟩ ( 5 ) di ogni coppia si annulla, il che significa che i vettori di base sono tutti tra loro ortogonali :
⟨
e
+
,
e
−
⟩
=
⟨
e
−
,
e
0
⟩
=
⟨
e
0
,
e
+
⟩
=
0
{\displaystyle \left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{-}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =0}
e ogni vettore base è un vettore unitario :
⟨
e
+
,
e
+
⟩
=
⟨
e
−
,
e
−
⟩
=
⟨
e
0
,
e
0
⟩
=
1
{\displaystyle \left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{-}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =1}
da qui la necessità dei fattori di normalizzazione di 1/ √ 2 .
Le relazioni di definizione ( 3A ) possono essere riassunte da una matrice di trasformazione U :
(
e
+
e
−
e
0
)
=
U
(
e
x
e
y
e
z
)
,
U
=
(
−
1
2
−
i
2
0
+
1
2
−
i
2
0
0
0
1
)
,
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,}
(
e
x
e
y
e
z
)
=
U
−
1
(
e
+
e
−
e
0
)
,
U
−
1
=
(
−
1
2
+
1
2
0
+
i
2
+
i
2
0
0
0
1
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} ^{-1}{\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.}
Si vede che U è una matrice unitaria , in altre parole il suo coniugato hermitiano U † ( coniugato complesso e matrice trasposta ) è anche matrice inversa U −1 .
Per le coordinate:
(
A
+
A
−
A
0
)
=
U
∗
(
A
x
A
y
A
z
)
,
U
∗
=
(
−
1
2
+
i
2
0
+
1
2
+
i
2
0
0
0
1
)
,
{\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} ^{\mathrm {*} }{\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{\mathrm {*} }={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,}
e inversa:
(
A
x
A
y
A
z
)
=
(
U
∗
)
−
1
(
A
+
A
−
A
0
)
,
(
U
∗
)
−
1
=
(
−
1
2
+
1
2
0
−
i
2
−
i
2
0
0
0
1
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}=(\mathbf {U} ^{\mathrm {*} })^{-1}{\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}\,,\quad (\mathbf {U} ^{\mathrm {*} })^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.}
Prendendo i prodotti incrociati dei vettori di base sferica, troviamo una relazione ovvia:
e
q
×
e
q
=
0
{\displaystyle \mathbf {e} _{q}\times \mathbf {e} _{q}={\boldsymbol {0}}}
dove q è un segnaposto per +, −, 0 e due relazioni meno ovvie:
e
±
×
e
∓
=
±
i
e
0
{\displaystyle \mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{\mp }=\pm i\mathbf {e} _{0}}
e
±
×
e
0
=
±
i
e
±
{\displaystyle \mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{0}=\pm i\mathbf {e} _{\pm }}
Prodotto interno nella base sferica
modifica
Il prodotto interno tra due vettori A e B nella base sferica segue dalla precedente definizione del prodotto interno:
⟨
A
,
B
⟩
=
A
+
B
+
⋆
+
A
−
B
−
⋆
+
A
0
B
0
⋆
{\displaystyle \left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \right\rangle =A_{+}B_{+}^{\star }+A_{-}B_{-}^{\star }+A_{0}B_{0}^{\star }}
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![{\displaystyle [J_{\pm },T_{q}^{(k)}]=\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}T_{q\pm 1}^{(k)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4ba041482aa1f9ed8b0cdda4af926ff6d25f55d)
![{\displaystyle [J_{z},T_{q}^{(k)}]=\hbar qT_{q}^{(k)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b39178911dcedd4c308338df03f1288096e6c81a)
