Utente:Penaz/Equazione di diffusione

L'equazione di diffusione trova applicazione in molte teorie fisiche: termodinamica, fluidodinamica e cinetica chimica ne sono un esempio. Partiamo quindi dal un semplice esempio: consideriamo un corpo omogeneo isotropo, esprimiamo quindi alcune grandezze:

• $\rho \!$: densità, espressa in Kg/m³
• r: intensità della fonte di calore (esterna), in J/(Kg s)
• e: energia interna, in J/Kg

Dal primo principio della termodinamica abbiamo che la variazione dell'enenrgia interna in un generico volume V è la somma del contributo esterno (la fonte r) e il flusso di calore attraverso la frontiera di V.

Che espresso in simboli:

${\frac {d}{dt}}\int _{V}e(x,t)\,dx=\int _{V}r(x,t)\,\rho \,dx-\int _{\partial V}{\vec {q}}\cdot {\vec {\nu }}\,d\sigma \!$

Abbiamo inserito una quantità che prima non avevamo elencato, il flusso di calore ${\vec {q}}\!$, può essere espresso in molti modi (questo dipende se la trasmissione del calore avviene per conduzione, convezione o irraggiamento). Per semplicità faremo riferimento alla legge di Fourier

${\vec {q}}=-k\nabla u\!$

dove con u abbiamo indicato la temperatura. Un'altra relazione fondamentale sarà:

$e=c_{V}\,u\!$

dove $c_{V}\!$ è il calore specifico a volume costante. Così che:

${\frac {d}{dt}}\int _{V}c_{V}\,u(x,t)\,\rho \,dx=\int _{V}r(x,t)\,\rho \,dx+\int _{\partial V}k\,\nabla u(x,t)\cdot {\vec {\nu }}\,d\sigma \!$

Nel primo integrale posso scambiare l'operazione di derivazione con quella di integrale (si ipotizza che u sia abbastanza regolare, almeno derivabile), invece nell'ultimo posso applicare il teorema della divergenza.

$\int _{V}c_{V}\,u_{t}(x,t)\,\rho \,dx=\int _{V}r(x,t)\,\rho \,dx+\int _{V}div(k\,\nabla u(x,t))\,dx\!$

Data l'abitrarietà del volume V

$c_{V}\,u_{t}\,\rho =r(x,t)\,\rho +k\,div(\nabla u)\!$

$u_{t}={\frac {k}{\rho \,c_{V}}}\Delta u+{\frac {r}{c_{V}}}\!$

che rappresenta l'equazione del calore. Notare bene che se k non è costante l'equazione assume la forma più generale:

$u_{t}=a\,div(k\,\nabla u)+f\!$

Il moto browniano

Prendiamo in considerazione il seguente esperimento ideale: una particella in grado di muoversi lungo una retta in entrambe le direzioni. Per semplicità considereremo sia il tempo che lo spazio quantità discrete, i rispettivi passi di discretizzazione saranno τ e h. Lo spostamento a destra e a sinistra saranno equiprobabili, cioè se la particella si trova in posizione m h all'istante T τ, all'istante (T+1) τ avrà probabilità 1/2 sia di trovarsi in (m+1) h che in (m-1) h. Imporremo come condizione iniziale che la particella parta dalla posizione 0.

Indichiamo con p la probabilità di trovarsi nella posizione x all'istante t. Per il teorema delle probabilità totali:

$p(x,t+\tau )={\frac {1}{2}}p(x-h,t)+{\frac {1}{2}}p(x+h,t)\!$

Ora il nostro intento è portare le quantità h e τ a zero, attraverso l'operazione di limite. Questo significa che le nostre probabilità (discrete) dopo l'operazione di limite di comporteranno come funzioni reali continue, cioè saranno densità di probabilità.

Visto che sarà semplice distinguere p "discreta" dalla densità di probabilità, indicheremo quest'ultima con la stessa lettera.

$p(x,t+\tau )=p(x,t)+\tau \,\partial _{t}p(x,t)+o(\tau )\!$

$p(x\pm h,t)=p(x,t)\pm h\,\partial _{x}p(x,t)+{\frac {h^{2}}{2}}\partial _{xx}p(x,t)+o\left({\frac {h^{2}}{2}}\right)\!$

Sostituendo nell'equazione alle differenze:

$p(x,t)+\tau \,\partial _{t}p(x,t)+o(\tau )=\!$

${\frac {1}{2}}\left[p(x,t)+h\,\partial _{x}p(x,t)+{\frac {h^{2}}{2}}\partial _{xx}p(x,t)+o\left({\frac {h^{2}}{2}}\right)\right]+\!$

$+{\frac {1}{2}}\left[p(x,t)-h\,\partial _{x}p(x,t)+{\frac {h^{2}}{2}}\partial _{xx}p(x,t)+o\left({\frac {h^{2}}{2}}\right)\right]\!$

$\tau \,\partial _{t}p(x,t)+o(\tau )={\frac {h^{2}}{2}}\partial _{xx}p(x,t)+o\left({\frac {h^{2}}{2}}\right)\!$

$\partial _{t}p(x,t)+o(1)={\frac {h^{2}}{2\tau }}\partial _{xx}p(x,t)+o\left({\frac {h^{2}}{2\tau }}\right)\!$

Passando al limite per $h\to 0\!$ con ${\frac {h^{2}}{2\tau }}=D\!$ (con D costante) si ottiene:

$\partial _{t}p=D\partial _{xx}p\!$