Utente:Red devil 666~itwiki/coincidenze matematiche

{{T|lingua=inglese|argomento=|data=}} In matematica, il termine coincidenza matematica è utilizzato quando due espressioni mostrano una somiglianza che non è spiegata dai teoremi. One of the expressions may be an integer and the surprising feature is the fact that a real number is close to a small integer; or, more generally, to a rational number with a small denominator.

Dato il grande numero di modi di combinare le espressioni matematiche, uno potrebbe aspettarsi che si verifichino un gran numero di coincidenze; questo è un aspetto della cosiddetta legge dei piccoli numeri. Sebbene le coincidenze matematiche possano risultare utili, il loro interesse è principalmente a carattere di curiosità.

Alcuni esempi

$e^{\pi }\simeq \pi ^{e}$ ; corretto al 3% circa
$\pi \simeq 22/7$ ; corretto al 0.03% circa; $\pi \simeq 355/113$ , corretto alla sesta cifra decimale o allo 0.000008%.
$\pi ^{2}\simeq 10$ ; corretto al 3% circa. Questa coincidenza viene utilizzata per descrivere il Regolo calcolatore, where the "folded" scales are folded on $\pi$ rather than ${\sqrt {10}}$ , because it is a more useful number and has the effect of folding the scales in about the same place; $\pi ^{2}\simeq 227/23$ , corretto allo 0.0004%.
$\pi ^{3}\simeq 31$ ; corretto allo 0.02% circa.
$\pi ^{4}\simeq 2143/22$ ,preciso per una parte per $10^{10}$ circa; scoperta di Srinivasa Ramanujan, il quale deve essersi accorto che la rappresentazione in frazione continua di $\pi ^{4}$ comincia con $[97;2,2,3,1,16539,1,1,\ldots ]$ ..
$\pi ^{5}\simeq 306$ ; corretto allo 0.006% circa.

(La teoria delle frazioni continue fornisce un trattamento sistematico di questo tipo di coincidenza; e anche di alcune coincidenze come $2\times 12^{2}\simeq 17^{2}$ (ie ${\sqrt {2}}\simeq 17/12$ ). Curiosamente le frazioni continue delle prime potenze di $\pi$ raggiungono grandi numeri (>50) abbstanza presto, nel caso di $\pi ^{3}$ e $\pi ^{5}$ tanto presto quanto il primo denominatore.)

$1+1/\log(10)\simeq 1/\log(2)$ ; leading to Donald Knuth's observation that, to within about 5%, $\log _{2}(x)=\log(x)+\log _{10}(x)$ .
$2^{10}\simeq 10^{3}$ ; corretto al 2.4%, vedi Prefissi per multipli binari; iimplica che $\log _{10}2=0.3$ ; valore effettivo circa 0.30103; engineers make extensive use of the approximation that 3 dB corresponds to doubling of power level. Usando questo valora approssimato di $\log _{10}2$ , si possono derivare le seguenti approssimazioni per i logaritmi di altri numeri:
- $3^{4}\simeq 10\cdot 2^{3}$ , leading to $\log _{10}3=(1+3\log _{10})/4\simeq 0.475$ ; compare the true value of about 0.4771
- $7^{2}\simeq 10^{2}/2$ , leading to $\log _{10}7\simeq 1-\log _{10}2/2$ , or about 0.85 (compare 0.8451)
$e^{\pi }\simeq \pi +20$ ; corretto allo 0.004% circa.
$e^{\pi {\sqrt {n}}}$ is close to an integer for many values of $n$ , most notably $n=163$ ; this one has roots in algebraic number theory.
$\pi$ secondi è un nanosecolo (ie $10^{-7}$ anni); corretto circa allo 0.5%
un attoparsec per microfortnight è approsimativamente uguale a 1 pollice per secondo (the actual figure is about 1.0043 inch per second).
un miglio è circa $\phi$ kilometri (corretto allo 0.5% circa), dove $\phi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}$ è la sezione aurea. Dal momento che questa è il limite del rapporto di due termini successivi della Sequenza di Fibonacci, questo da una sequenza di approssimazioni $F_{n}$ mi = $F_{n+1}$ km, e.g. 5 mi = 8 km, 8 mi = 13 km.
$2^{7/12}\simeq 3/2$ ; corretto allo 0.1% circa. In musica, questa coincidenza significa che la scala cromatica di dodici toni include, per ogni nota (in un sistema a temperamento equabile,che dipende da questa coincidenza), una nota related dal rapporto di 3/2. Questo rapporto di 3/2 è l'intervallo musicale di una quinta e sta alla base del temperamento pitagorico, del temperamento naturale, e invero dei più conosciuti sistemi musicali.
$\pi \simeq {\frac {63}{25}}\left({\frac {17+15{\sqrt {5}}}{7+15{\sqrt {5}}}}\right)$ ;