Distribuzione geometrica

In teoria della probabilità la distribuzione geometrica è una distribuzione di probabilità discreta sui numeri naturali senza l'elemento "0", che segue una progressione geometrica:

Distribuzione geometrica ${\mathcal {G}}(p)$
Funzione di distribuzione discreta
Funzione di ripartizione
Parametri	$p\in [0,1]$$q=1-p\$
Supporto	$\mathbb {N} ^{*}=\{1,2,...\}$
Funzione di densità	$pq^{k-1}\$
Funzione di ripartizione	$1-q^{k}\$
Valore atteso	${\frac {1}{p}}$
Mediana	$[\log _{q}{\tfrac {1}{2}}]$ se $\log _{q}{\tfrac {1}{2}}\not \in \mathbb {N}$
Moda	$0\$
Varianza	${\frac {q}{p^{2}}}$
Indice di asimmetria	${\frac {1+q}{\sqrt {q}}}\$
Curtosi	$6+{\frac {p^{2}}{q}}$
Entropia	$-\log p-{\frac {q}{p}}\log q$
Funzione generatrice dei momenti	${\frac {pe^{t}}{1-qe^{t}}}$
Funzione caratteristica	${\frac {pe^{it}}{1-qe^{it}}}$

$P(X=k)=p(1-p)^{k-1}.$

È la probabilità che il primo successo (o evento in generale) richieda l'esecuzione di k prove indipendenti, ognuna con probabilità di successo p. Se la probabilità di successo in ogni prova è p, allora la probabilità che alla k-esima prova si ottenga il primo successo è

$P(X=k)=p(1-p)^{k-1},$

con k = 1, 2, 3, …

La formula qui sopra è usata, dunque, per calcolare la probabilità di fare un certo numero k di tentativi fino ad ottenere il primo successo (al k-esimo tentativo). Qui sotto invece, la seguente distribuzione esprime la probabilità di avere k fallimenti prima di ottenere il primo successo:

$P(Y=k)=p(1-p)^{k},$

per k = 0, 1, 2, 3, …

In entrambi i casi, la successione di probabilità è una serie geometrica.

Definizione

La distribuzione geometrica ${\mathcal {G}}(p)$ è la distribuzione di probabilità sui numeri naturali della forma

$P(k)=pq^{k-1}$, con $q=1-p,$

dove q indica la probabilità di insuccesso. Il parametro $q=1-p$ si ricava da

$1=P(\mathbb {N} ^{+})=\sum _{k\geqslant 0}pq^{k}=p{\frac {1}{1-q}}.$

E ricordando la definizione di q si ottiene 1. Questo risultato è di fondamentale importanza: significa che per quanto sia piccola la probabilità che un evento accada, in un processo di Bernoulli questo prima o poi accadrà (questo si ricollega al teorema della scimmia instancabile).

Se la variabile casuale X ha la distribuzione geometrica sopra descritta riguardante il numero di estrazioni necessarie per ottenere il primo successo, cioè X è distribuita secondo $P(k)=pq^{k-1}$ , allora la distribuzione della variabile casuale $Y=X-1$ sarà $P(k)=pq^{k}$ . Nell'esempio citato sopra, X è il numero di estrazioni da fare perché esca un numero fissato (alla X-esima estrazione), mentre Y è il numero di fallimenti prima di avere il primo successo.

Processo di Bernoulli

La distribuzione geometrica di parametro q descrive anche il numero Y di fallimenti che precedono il primo successo in un processo di Bernoulli $\{X_{i}\}_{i}$ di parametro $p=1-q$:

$P(T=k)=P(X_{1}=0)\cdots P(X_{k}=0)P(X_{k+1}=1)=q^{k}p.$

Caratteristiche

Una variabile aleatoria T con distribuzione geometrica di parametro q e avente come supporto i numeri naturali escluso il numero 0 ha

• funzione di probabilità

$P(T=k)=pq^{k-1}$

• funzione di ripartizione

$P(T\leqslant k)=1-P(T\geqslant k+1)=1-q^{k}$

• valore atteso

$E[T]=\sum _{k}kpq^{k-1}={\frac {1}{p}}$

• varianza

${\text{Var}}(T)\ =\ E[T^{2}]-E[T]^{2}\ =\ {\frac {q}{p^{2}}}$

• funzione generatrice dei momenti $g(T,t)\ =\ E[e^{tT}]\ =\ pe^{t}\sum _{k}q^{k}e^{kt}={\frac {pe^{t}}{1-qe^{t}}}$
• funzione caratteristica $\phi _{T}(t)\ =\ E[e^{itT}]\ =\ {\frac {pe^{it}}{1-qe^{it}}}$

I quantili si ricavano dalla funzione di ripartizione:

• se $n=\log _{q}(1-\alpha )$ è un numero intero ($q={\sqrt[{n}]{1-\alpha }}$) allora $F(n-1)=\alpha$ e $q_{\alpha }\in [n-1,n]$;
• se invece $\log _{q}(1-\alpha )$ non è intero, allora $q_{\alpha }=[\log _{q}(1-\alpha )]$ (parte intera).

In particolare la mediana è

$q_{1/2}\in [n-1,n]$ se $q={\sqrt[{n}]{\tfrac {1}{2}}}$ con $n$ intero,

$q_{1/2}=[\log _{q}{\tfrac {1}{2}}]$ altrimenti.

Assenza di memoria

La distribuzione geometrica è priva di memoria, ossia

$P(T=m+n|T>m)=P(T=n),$

ed è l'unica distribuzione di probabilità discreta con questa proprietà.

L'indipendenza delle prove in un processo di Bernoulli implica l'assenza di memoria della distribuzione geometrica. D'altro canto, ogni variabile aleatoria T a supporto sui numeri naturali e priva di memoria rispetta

$P(T=n)=P(T=n+1|T>1)={\frac {P(T=n+1)}{P(T>1)}},$

pertanto ha una distribuzione di probabilità geometrica di parametro $P(T=1)$.

Generalizzazioni

Una generalizzazione della distribuzione geometrica è la distribuzione di Pascal (o distribuzione binomiale negativa), che descrive il numero di fallimenti precedenti il successo r-esimo in un processo di Bernoulli.

Un'ulteriore generalizzazione della distribuzione di Pascal è la distribuzione di Panjer che, come la distribuzione geometrica, definisce le probabilità per ricorsione.

Esempi

La probabilità che un dado (equilibrato, a 6 facce) debba venire lanciato esattamente 10 volte prima di fornire un "4" è data dalla distribuzione geometrica. Il lancio del dado può essere considerato un processo di Bernoulli, in cui ogni prova X_i ha probabilità $p=1/6$ di fornire "4" (successo) e $q=5/6$ di fornire un altro numero (fallimento). La probabilità cercata è quindi

$P(T=10)={\frac {1}{6}}\left({\frac {5}{6}}\right)^{9}=0,032\ldots$

La probabilità che dopo 10 lanci sia uscito almeno un "4" è invece

$P(T\leqslant 10)=1-\left({\frac {5}{6}}\right)^{10}=0,838\ldots$

La probabilità che al decimo lancio si ottenga un "4" dopo che per 9 lanci questo numero non è mai stato ottenuto è facilmente calcolabile grazie alla mancanza di memoria

$P(T=10|T>9)=P(T=1)={\frac {1}{6}}=0,166\ldots$

Voci correlate

• Distribuzione di Bernoulli
• Distribuzione di Panjer
• Distribuzione di Pascal
• Mancanza di memoria
• Processo di Bernoulli
• Variabile casuale

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione geometrica, su MathWorld, Wolfram Research.