Distribuzione discreta uniforme

In teoria delle probabilità una distribuzione discreta uniforme è una distribuzione di probabilità discreta che è uniforme su un insieme, ovvero che attribuisce la stessa probabilità ad ogni elemento dell'insieme discreto S su cui è definita (in particolare l'insieme dev'essere finito).

Distribuzione discreta uniforme su elementi in progressione aritmetica
Funzione di distribuzione discreta
Funzione di ripartizione
Parametri	$-\infty <a\leqslant b<\infty$ estremi della progressione $n$ elementi nella progressione
Supporto	$S=\left\{a,\dots ,a+{\frac {i-1}{n-1}}(b-a),\dots ,b\right\}$
Funzione di densità	${\frac {1}{n}}$ su $S\$
Funzione di ripartizione	${\frac {i}{n}}$ per $a+{\frac {i-1}{n-1}}(b-a)$
Valore atteso	${\frac {a+b}{2}}$
Mediana	${\frac {a+b}{2}}$
Varianza	${\frac {(a-b)^{2}}{12}}{\frac {n+1}{n-1}}={\frac {n^{2}-1}{12}}$
Indice di asimmetria	$0$
Curtosi	$-{\frac {6}{5}}{\frac {n^{2}+1}{n^{2}-1}}$
Entropia	$\log n$
Funzione generatrice dei momenti	${\frac {1}{n}}e^{at}{\frac {1-e^{{\frac {n}{n-1}}(b-a)t}}{1-e^{{\frac {1}{n-1}}(b-a)t}}}$
Funzione caratteristica	${\frac {1}{n}}e^{iat}{\frac {1-e^{i{\frac {n}{n-1}}(b-a)t}}{1-e^{i{\frac {1}{n-1}}(b-a)t}}}$

Un esempio di distribuzione discreta uniforme è fornito dal lancio di un dado equilibrato: ognuno dei valori 1, 2, 3, 4, 5 e 6 ha eguale probabilità 1/6 di verificarsi.

Questa distribuzione di probabilità è quella che fornisce la classica definizione di probabilità "casi favorevoli su casi possibili": la probabilità di un evento $A\subset S$ è data dal rapporto tra le cardinalità dei due insiemi,

$P(A)={\frac {\#A}{\#S}}$

Definizione

La distribuzione discreta uniforme su un insieme finito S è la distribuzione di probabilità ${\mathcal {U}}(S)$ che attribuisce a tutti gli elementi di S la stessa probabilità p di verificarsi.

In particolare, dalla relazione

$1=P(S)=\sum _{s\in S}P(s)=\sum _{s\in S}p=p\cdot \#S$

seguono

$P(s)={\frac {1}{\#S}}$ per ogni elemento $s\in S$,

$P(A)={\frac {\#A}{\#S}}$ per ogni sottoinsieme $A\subset S$.

Progressione aritmetica

Spesso viene considerata la distribuzione discreta uniforme su un insieme S i cui elementi sono in progressione aritmetica, ovvero del tipo

$S=\{\alpha +i\beta \colon i\in \{1,2,\dots ,n\}\}$.

In questo caso l'insieme S può essere descritto come un insieme di n elementi in progressione aritmetica, da a a b, con elementi della forma

$x_{i}=a+{\frac {i-1}{n-1}}(b-a)$,

con $x_{1}=a$ e $x_{n}=b$.

In questo modo la distribuzione discreta uniforme diventa una sorta di approssimazione della distribuzione continua uniforme sull'intervallo $[a,b]$

Caratteristiche

La distribuzione ${\mathcal {U}}([a,b],n)$ è simmetrica rispetto al punto medio $(a+b)/2$ del segmento $[a,b]$. Una variabile aleatoria U con questa distribuzione ha quindi speranza $E(U)=(a+b)/2$ e indice di asimmetria $\gamma _{1}=0$. Inoltre ha

• varianza

${\text{Var}}(U)={\frac {(a-b)^{2}}{12}}{\frac {n+1}{n-1}}$,

• curtosi

$\gamma _{2}=-{\frac {5}{6}}{\frac {n^{2}+1}{n^{2}-1}}$,

• funzione generatrice dei momenti

$g(t,U)=E[e^{tU}]={\frac {1}{n}}(e^{at}+e^{at+\beta t}+e^{at+2\beta t}+\dots +e^{at+n\beta t})={\frac {1}{n}}e^{at}{\frac {1-e^{{\frac {n}{n-1}}(b-a)t}}{1-e^{{\frac {1}{n-1}}(b-a)t}}}$

• entropia

$H(U)=\log n\$(il massimo valore possibile per una distribuzione su n elementi).

Altre distribuzioni

Il parallelo della distribuzione discreta uniforme tra le distribuzioni di probabilità continue è la distribuzione continua uniforme: una distribuzione definita su un insieme continuo S, che attribuisce la stessa probabilità a due intervalli della stessa lunghezza, contenuti in S, ovvero la cui densità di probabilità assume un valore costante su S.

Distribuzione su due valori

La distribuzione di Bernoulli ${\mathcal {B}}(p)$ con $p=1/2$ è una distribuzione discreta uniforme: i due valori 0 e 1 hanno entrambi probabilità

$p=1-p=1/2$.

Ogni altra distribuzione discreta uniforme su due valori a e b può essere espressa tramite una variabile aleatoria X con distribuzione di Bernoulli ${\mathcal {B}}({\tfrac {1}{2}})$, considerando la variabile aleatoria ${Y=aX+b(1-X)}$.

La distribuzione discreta uniforme sui due valori 1 e −1 è anche detta distribuzione di Rademacher, dal matematico tedesco Hans Rademacher; al pari di altre distribuzioni su due valori, viene utilizzata nel metodo bootstrap per il ricampionamento dei dati.

Voci correlate

• Variabile casuale
• Distribuzione discreta
• Distribuzione continua uniforme
• Progressione aritmetica

Collegamenti esterni

• (EN) William L. Hosch, uniform distribution, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione discreta uniforme, su MathWorld, Wolfram Research.