Assioma di separazione

Uno spazio topologico è un oggetto matematico molto generico, che può modellizzare tutti gli oggetti contenuti nello spazio euclideo, gli spazi metrici, e la maggior parte degli spazi di funzioni. Molti teoremi sugli spazi topologici necessitano di alcune ipotesi minime, che sono soddisfatte negli spazi metrici o euclidei. Queste ipotesi sono gli assiomi di separazione: questi chiedono generalmente che la topologia sia sufficientemente ricca da distinguere punti ed eventualmente chiusi disgiunti.

Assiomi

I principali assiomi di separazione sono indicati con la lettera "T" seguita da un numero progressivo. La lettera "T" viene dal tedesco "Trennung", che vuol dire proprio separazione.

Sia X uno spazio topologico. La lista di assiomi è la seguente.

X è T₀ se per ogni coppia di punti x e y di X esiste un aperto U che contiene x e non contiene y, o viceversa (in altre parole, la topologia distingue i punti).
X è T₁ se per ogni coppia di punti x e y di X esistono due aperti U e V tali che U contiene x e non y, mentre V contiene y e non x (equivalentemente: i punti sono chiusi).
X è T₂ o di Hausdorff se per ogni coppia di punti x e y di X esistono due aperti U e V disgiunti che li contengono, rispettivamente.
X è regolare se per ogni punto x e chiuso F disgiunti esistono due aperti U e V disgiunti che li contengono, rispettivamente.
X è T₃ se è T₁ e regolare (implica T₂).
X è completamente regolare se per ogni punto x e chiuso F disgiunti esiste una funzione continua a valori reali che vale 0 su F e 1 su x (implica la regolarità).
X è T_3½ se è T₀ e completamente regolare (implica T₃).
X è normale se per ogni coppia di chiusi disgiunti F e G esistono due aperti disgiunti U e V che li contengono rispettivamente (implica la completa regolarità^[1]).
X è T₄ se è T₁ e normale (implica T_3½^[2]).

L'ipotesi che lo spazio sia T₀ nella definizione di T_3½ e T₁ in quella di T₃ e T₄ fa sì che ciascuno di questi assiomi sia un raffinamento dei precedenti.

Esempi

Ogni spazio metrico è di Hausdorff e regolare, quindi T₃.
Uno spazio topologico con la topologia banale è T₀ solo se consta di un punto solo.
La retta avente come aperti tutte le semirette x>d al variare di d fra i numeri reali è T₀ ma non T₁.
La topologia cofinita su un insieme infinito di punti è T₁ ma non T₂.
La topologia di Zariski, di fondamentale importanza in geometria algebrica, generalmente non è T₂.

Note

^ La dimostrazione è immediata conseguenza della profonda proprietà del Lemma di Urysohn, di non facile dimostrazione.
^ Per la dimostrazione di quest'ultimo fatto, vale quanto già detto per gli spazi normali.

Voci correlate

Lemma di Urysohn

Collegamenti esterni

separazione, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN) Eric W. Weisstein, Assioma di separazione, su MathWorld, Wolfram Research.

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[1] La dimostrazione è immediata conseguenza della profonda proprietà del Lemma di Urysohn, di non facile dimostrazione.

[2] Per la dimostrazione di quest'ultimo fatto, vale quanto già detto per gli spazi normali.

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