Cono (topologia)
In topologia, il cono di uno spazio topologico è un nuovo spazio topologico che, similmente all'usuale cono geometrico, ha un vertice ed una base omeomorfa a .
Definizione
modificaSia uno spazio topologico. Il cono è lo spazio quoziente
del prodotto di con l'intervallo unitario rispetto alla relazione d'equivalenza che identifica tutti i punti del tipo .
Il cono è quindi costruito in due fasi: prima si costruisce un "cilindro" , e quindi si collassa una delle due basi del cilindro ad un punto.
Esempi
modificaPunti
modificaSe è un insieme finito di punti con la topologia discreta, il cono è omeomorfo ad un grafo con vertici stellato in , cioè con uno spigolo che collega ad ogni .
Dischi e sfere
modificaValgono gli omeomorfismi seguenti:
Il cono su una sfera è quindi un disco, ed il cono su un disco è anch'esso un disco (l'usuale cono geometrico è infatti omeomorfo ad un disco).
Proprietà
modificaUn cono è sempre connesso per archi, anche se lo spazio di partenza non lo è. Infatti è sempre possibile congiungere due punti del cono passando dal vertice.
Un cono è sempre uno spazio contrattile. Ne segue che ogni spazio topologico è contenuto in uno spazio contrattile.
Bibliografia
modifica- Allen Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0
- (EN) cone, in PlanetMath.