Distribuzione di Fisher-Snedecor

In teoria delle probabilità la distribuzione di Fisher-Snedecor (o F di Snedecor, o Z di Fisher) è una distribuzione di probabilità continua che regola il rapporto "riscalato" tra due variabili aleatorie che seguono due distribuzioni $\chi ^{2}$.

Distribuzione di Fisher-Snedecor
Funzione di densità di probabilità i parametri m ed n sono indicati come d1 e d2
Funzione di ripartizione i parametri m ed n sono indicati come d1 e d2
Parametri	$d_{1},d_{2}>0$ (gradi di libertà)
Supporto	$\mathbb {R} ^{+}$
Funzione di densità	${\frac {1}{\mathrm {B} ({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}})}}{\frac {1}{x}}\left({\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\ d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}\right)^{\frac {1}{2}}$ con $\mathrm {B}$ la funzione beta)
Funzione di ripartizione	$I_{\tfrac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}})$ (con $I$ la funzione beta incompleta regolarizzata)
Valore atteso	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}$ se $d_{2}>2$ infinita altrimenti
Moda	$0\$ se $m\leqslant 2$ ${\frac {m-2}{m}}{\frac {n}{n+2}}$ se $m\geqslant 2$
Varianza	${\frac {2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}$ per $n>4$ non definita altrimenti

Viene impiegata nell'analisi della varianza e in generale per l'omonimo test F.

Prende il nome dai matematici George W. Snedecor (statunitense) e Ronald Fisher (britannico).

Definizione

La distribuzione di Fisher-Snedecor con parametri i numeri naturali $(m,n)$ governa la variabile aleatoria

$F={\frac {X/m}{Y/n}}$,

dove $X$ e $Y$ sono variabili aleatorie indipendenti con rispettive distribuzioni chi quadrato con $m$ ed $n$ gradi di libertà, $\chi ^{2}(m)$ e $\chi ^{2}(n)$.

Caratteristiche

La distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri $(m,n)$ ha funzione di densità di probabilità

$f(x)={\frac {1}{\mathrm {B} ({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})}}{\frac {1}{x}}\left({\frac {m^{m}n^{n}x^{m}}{(mx+n)^{m+n}}}\right)^{\frac {1}{2}}$,

dove $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ è la funzione beta.

La sua funzione di ripartizione è data dalla funzione beta incompleta regolarizzata,

$F(x)=I_{\tfrac {mx}{mx+n}}({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})$.

La distribuzione ha momenti semplici di ordine $k$ infiniti per $k>n/2$, altrimenti pari a

$\mu _{k}={\frac {n^{k}}{m^{k}}}\cdot {\frac {m(m+2)(m+4)\cdots (m+2k-2)}{(n-2)(n-4)(n-6)\cdots (n-2k)}}$.

In particolare ha

• speranza matematica pari a

  $E[F]={\frac {n}{n-2}}{\mbox{ per }}n>2;$

• varianza pari a

  ${\text{Var}}(X)={\frac {2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}{\mbox{ per }}n>4;$

• indice di asimmetria pari a

  $\gamma _{1}=2{\sqrt {\tfrac {2(n-4)}{m(m+n-2)}}}{\tfrac {2m+n-2}{n-6}}{\mbox{ per }}n>6;$

• indice di curtosi pari a

  $\gamma _{2}=12\cdot {\frac {n^{3}+5mn^{2}+5m^{2}n-8n^{2}-32mn+22m^{2}+20n+44m-16}{m(m+n-2)(n-6)(n-8)}}{\mbox{ per }}n>8.$

La sua moda è $0$ se $m\leqslant 2$ e

${\frac {m-2}{m}}{\frac {n}{n+2}}$ se $m\geqslant 2$.

Altre distribuzioni

Per definizione, se una variabile aleatoria $F={\tfrac {X/m}{Y/n}}$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri $(m,n)$, allora la sua inversa $F^{-1}={\tfrac {Y/n}{X/m}}$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri $(n,m)$. Questa relazione permette di esprimere i quantili di una distribuzione in termini dei quantili dell'altra:

$P(F^{-1}\leqslant q)=P(F\geqslant q^{-1})=1-P(F\leqslant q^{-1})$.

Una generalizzazione di questa distribuzione è la distribuzione di Fisher-Snedecor non centrale, per la quale la variabile aleatoria $X$ nella definizione di $F={\tfrac {X/m}{Y/n}}$ può seguire una distribuzione chi quadrato non centrale.

Se $T$ è una variabile aleatoria con distribuzione t di Student di parametro $\nu$, allora $F=T^{2}$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri $(1,\nu )$.

Se $T^{2}$ è una variabile aleatoria con distribuzione di Hotelling di parametri $(p,m)$, allora $F={\tfrac {m-p+1}{mp}}T^{2}$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri $(p,m-p+1)$.

Se la variabile aleatoria $F$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri $(m,n)$, allora $B={\frac {mF}{mF+n}}$ segue la distribuzione Beta $\mathrm {B} ({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})$.

Bibliografia

• Sheldon M. Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Trento, Apogeo, 2003, ISBN 88-7303-897-2.

Voci correlate

• Analisi della varianza
• Distribuzione chi quadrato
• Funzione beta di Eulero

Collegamenti esterni

• Fisher, distribuzione F di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Snedecor's F-Distribution, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Fisher-F-distribution, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

• (EN) F distribution, in PlanetMath.