Distribuzione discreta

In teoria delle probabilità una distribuzione discreta è una distribuzione di probabilità definita su un insieme discreto S. In particolare questo insieme può essere finito oppure numerabile (i suoi elementi possono essere elencati tramite i numeri naturali: $S=\{s_{0},s_{1},s_{2},...\}$ ).

Una variabile aleatoria (o stocastica, o casuale dall'inglese random) è discreta se segue una distribuzione di probabilità discreta.

Se l'insieme S è contenuto nei numeri reali, si può definire la funzione di ripartizione della distribuzione, che assume valori su S; se viene rappresentata su tutti numeri reali allora acquista la forma di una funzione a gradini, costante sugli intervalli semiaperti $[s_{n},s_{n+1}[$ .

Esempi

Particolari distribuzioni discrete di probabilità sono:

la distribuzione discreta uniforme,
la distribuzione binomiale,
la distribuzione di Bernoulli,
la distribuzione di Poisson (o degli eventi rari),
la distribuzione geometrica,
la distribuzione di Pascal,
la distribuzione ipergeometrica,
la distribuzione di Wilcoxon,
la distribuzione di Benford (o della prima cifra),
la distribuzione di Kolmogorov-Smirnov,
la distribuzione di Spearman,
la distribuzione di Rademacher
la distribuzione binomiale negativa

Un caso particolare è la distribuzione degenere su un solo elemento: $S=\{s\}$ e $P(s)=1$ .

Anche le distribuzioni su più dimensioni (multivariate) possono essere discrete, come la distribuzione multinomiale.

Tabella delle distribuzioni discrete comuni

La tabella seguente riassume le proprietà delle distribuzioni discrete più comuni, si intende $\mathbb {N} ^{+}:=\{1,2,\ldots \}$ e $\mathbb {N} :=\mathbb {N} ^{+}\cup \{0\}$

Distribuzione	Parametri	Supporto	Funzione di probabilità	Valore atteso	Varianza
Bernoulliana	$p\in [0,1]$	$\{0,1\}$	$P(0)=1-p,\;P(1)=p$	$p$	$p(1-p)$
Uniforme	$n\in \mathbb {N} ^{+}$	$\{1,2,\ldots ,n\}$	$P(k)={\frac {1}{n}}$	$(n+1)/2$	${\frac {n^{2}-1}{12}}$
Geometrica	$p\in \;]0,1[$	$\mathbb {N}$	$P(k)=p(1-p)^{k-1}$	${\frac {1}{p}}$	${\frac {1-p}{p^{2}}}$
Binomiale	$p\in [0,1],\;n\in \mathbb {N}$	$\{0,1,\ldots ,n\}$	$P(k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$
di Pascal	$p\in [0,1],\;n\in \mathbb {N}$	$\mathbb {N}$	$P(k)={\binom {-n}{k}}p^{k}(p-1)^{n-k}$	$n\left({\frac {1}{p}}-1\right)$	$n\left({\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{p}}\right)$
Ipergeometrica	$n\in \mathbb {N} ,\;r,h\in \{0,1,\ldots ,n\}$	$\{0,1,\ldots ,n\}$	$P(k)={\frac {{\binom {h}{k}}{\binom {n-h}{r-k}}}{\binom {n}{r}}}$	${\frac {rh}{n}}$	${\frac {r(n-r)h(n-h)}{n^{2}(n-1)}}$