Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

In matematica, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, nota anche come disuguaglianza di Schwarz o disuguaglianza di Bunyakovsky, è una disuguaglianza che compare in algebra lineare e si applica in molti altri settori, quali ad esempio l'analisi funzionale e la probabilità.

Proposta inizialmente da Augustin-Louis Cauchy, la formulazione integrale della disuguaglianza è dovuta a Viktor Bunyakovsky (1859), e si può trovare anche nei lavori di Hermann Amandus Schwarz a partire dal 1884.

Negli spazi L^p la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è un caso particolare della disuguaglianza di Hölder.

La disuguaglianza

Sia $V$ uno spazio prehilbertiano, cioè uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare definito positivo, o uno spazio vettoriale complesso dotato di un prodotto hermitiano. La disuguaglianza asserisce che il valore assoluto del prodotto scalare di due elementi è minore o uguale al prodotto delle loro norme. Formalmente:

|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |\leq \left\|\mathbf {x} \right\|\cdot \left\|\mathbf {y} \right\|\qquad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V,

con l'uguaglianza che sussiste solo se $\mathbf {x}$ e $\mathbf {y}$ sono multipli (giacciono cioè sulla stessa retta).

In forma integrale:

\left|\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}\ dx\right|^{2}\leq \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}\ dx\cdot \int _{a}^{b}|g(x)|^{2}\ dx,

con $f$ e $g$ funzioni quadrato sommabile in $\mathbb {C}$ , che formano lo spazio di Hilbert L². Una generalizzazione di questa disuguaglianza è la disuguaglianza di Hölder.

Nello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ si ha:

\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right).

In dimensione 3, la disuguaglianza è conseguenza della seguente uguaglianza:

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle =|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}+\left\|\mathbf {x} \times \mathbf {y} \right\|^{2}

dove l'operazione binaria $\times \colon \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ indica il prodotto vettoriale.

Proprietà

La disuguaglianza vale quindi ad esempio nello spazio euclideo $n$ -dimensionale e negli spazi di Hilbert a dimensione infinita.

Nel piano, la disuguaglianza segue dalla relazione:

|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |=\left\|\mathbf {x} \right\|\cdot \left\|\mathbf {y} \right\|\cdot |\cos \theta |,

dove $\theta ={\widehat {\mathbf {x} \mathbf {y} }}$ è l'angolo fra i due vettori $\mathbf {x}$ e $\mathbf {y}$ . Si estende quindi questa relazione a un qualsiasi spazio vettoriale con prodotto scalare, usandola per definire l'angolo fra due vettori $\mathbf {x}$ e $\mathbf {y}$ come il $\theta \in [0,\pi ]$ che realizza l'uguaglianza.

Tra le conseguenze importanti della disuguaglianza si trovano:

il prodotto scalare (o hermitiano) è una funzione continua da $V\times V$ in $\mathbb {R}$ ;
la norma verifica la disuguaglianza triangolare;
la disuguaglianza di Bessel.

Dimostrazione 1

Siano $u$ , $v$ vettori arbitrari in uno spazio vettoriale $V$ su un campo $F$ con un prodotto scalare (formando così uno spazio prodotto interno), e sia $F$ il campo reale o complesso. Dimostriamo la disuguaglianza

{\big |}\langle u,v\rangle {\big |}\leq \left\|u\right\|\left\|v\right\|,

dove l'identità vale se e solo se $u$ e $v$ sono multipli fra di loro.

Se $v=0$ è banalmente provata l'uguaglianza, ed in questo caso $u$ e $v$ sono linearmente dipendenti (multipli l'uno dell'altro) a prescindere da $u$ . Possiamo quindi assumere $u$ non nullo. Assumiamo anche $\langle u,v\rangle \neq 0$ , altrimenti la disuguaglianza è ovviamente verificata, perché né $\left\|u\right\|$ né $\left\|v\right\|$ possono essere negativi.

Sia $z$ il vettore ortogonale a $v$ (si veda ortogonalizzazione di Gram-Schmidt) così definito:

z=u-u_{v}=u-{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v.

Quindi

u={\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v+z.

Per bilinearità e simmetria del prodotto scalare e per ortogonalità di $v$ e $z$ si ha che

\left\|u\right\|^{2}=\langle u,u\rangle =\langle {\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v+z,{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v+z\rangle =\left|{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}\right|^{2}\left\|v\right\|^{2}+\left\|z\right\|^{2}+2\mathrm {Re} \langle z,{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v\rangle ={\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\left\|v\right\|^{2}}}+\left\|z\right\|^{2}\geq {\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\left\|v\right\|^{2}}},

da cui, moltiplicando entrambi i membri per $\left\|v\right\|^{2}$ ,

\left\|u\right\|^{2}\left\|v\right\|^{2}\geq \ |\langle u,v\rangle |^{2}.

Poiché la norma e il valore assoluto sono non negativi (i quadrati di quantità non negative sono ordinati come le proprie basi), prendendo la radice quadrata di ambo i membri si ottiene

|\langle u,v\rangle |\leq \ \left\|u\right\|\left\|v\right\|

QED.

Dimostrazione 2

La disuguaglianza risulta banalmente vera per $\mathbf {y} \mathbf {=} \mathbf {0}$ , quindi si assume $\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle$ diverso da zero. Sia $\lambda$ un numero complesso. Si ha:

0\leq \left\|\mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} \right\|^{2}=\langle \mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} ,\mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} \rangle

=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -\lambda \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -{\overline {\lambda }}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle +|\lambda |^{2}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle .

Scegliendo

\lambda =\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}

, e ricordando che

|\lambda |^{2}={\overline {\lambda }}\lambda ,

si ottiene:

0\leq \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -{\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle +{\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle

=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -{\overline {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}-{\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}+{\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}(\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle )

=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}-|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}+|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}

=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}\cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}

che vale se e solo se

|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle

o equivalentemente

{\big |}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle {\big |}\leq \left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|.

Dimostrazione algebrica

Si consideri un polinomio di secondo grado in $x$ del tipo:

p(x)=(a_{1}+b_{1}x)^{2}+\ldots +(a_{n}+b_{n}x)^{2},

che non ha radici reali tranne nel caso in cui gli $a_{i}$ e i $b_{i}$ sono tutti uguali fra loro, o se data una coppia $(a_{i},b_{i})$ sussiste un legame di proporzionalità con tutte le coppie $(a_{j},b_{j})$ (cioè per ogni $j\in \{1,2,\ldots ,n\}$ esiste $k_{j}\in \mathbb {R}$ tale che $a_{j}=k_{j}a_{i}$ e $b_{j}=k_{j}b_{i}$ ). In tal caso la radice è: