Divisione dei polinomi

In matematica, la divisione dei polinomi detta anche divisione lunga è un algoritmo che permette di trovare il quoziente tra due polinomi, di cui il secondo di grado non superiore al grado del primo. È un'operazione che si può svolgere a mano, poiché separa il problema in varie divisioni tra monomi, facilmente calcolabili.

Ricordiamo che, se i polinomi sono a coefficienti reali (o più in generale in un campo) per ogni coppia di polinomi $A(x)$ e $B(x)$ esistono unici altri due polinomi $Q(x)$ e $R(x)$ tali che:

$A(x)=B(x)\cdot Q(x)+R(x)$

posto che il grado di $R(x)$ sia minore di quello di $B(x)$. Questo fatto è proprio degli anelli euclidei, come sono gli anelli di polinomi costruiti su un campo.

Il grado di $Q(x)$ sarà equivalente invece alla differenza tra il grado di $A(x)$ e quello di $B(x)$.

Nel caso in cui $R(x)=0$, $A(x)$ sarebbe divisibile per $B(x)$.

L'algoritmo

L'algoritmo comporta l'esecuzione dei seguenti passi:

1. Per prima cosa si scrivono i due polinomi in questo modo, facendo attenzione a scrivere esplicitamente anche i termini nulli di $A(x)$ (ad esempio, $x^{2}-1$ andrà scritto come $x^{2}+0x-1$).

   $A(x)$	$B(x)$

2. Si divide il termine di grado massimo di $A(x)$ per il termine di grado massimo di $B(x)$ e si scrive il risultato sotto $B(x)$.

   $a_{n}x^{n}$	$+\dots$	$+a_{0}$	$b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}$
   			${\frac {a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k}x^{k}$

3. Si moltiplica questo termine $q_{k}x^{k}$ per il polinomio $B(x)$ e si scrive il risultato sotto $A(x)$, incolonnando ogni termine sotto il termine di $A(x)$ di grado uguale.

   $a_{n}x^{n}$	$+\dots$	$+a_{0}$	$b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}$
   $b_{m}q_{k}x^{m+k}$	$+\dots$	$+b_{0}q_{k}x^{k}$	${\frac {a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k}x^{k}$

4. Si esegue la sottrazione tra $A(x)$ e il polinomio scritto sotto di esso. Per costruzione, il termine in $x^{n}$ si eliderà, lasciando un polinomio di grado minore ($n-1$ o anche meno).

   $a_{n}x^{n}$	$+\dots$	$+a_{0}$	$b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}$
   $b_{m}q_{k}x^{m+k}$	$+\dots$	$+b_{0}q_{k}x^{k}$	${\frac {a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k}x^{k}$
   $//+r_{n-1}x^{n-1}$	$+\dots$	$+r_{0}$

5. Se il grado di questo polinomio differenza $R_{1}(x)$ è maggiore o uguale a quello di $B(x)$ si ripetono le operazioni da 2 a 4 considerando adesso $R_{1}$ come dividendo e aggiungendo il termine

   ${\frac {r_{n-1}x^{n-1}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k-1}x^{k-1}$

   a destra del termine $q_{k}x^{k}$, come addendo successivo.
6. Quando si sarà raggiunto un polinomio $R_{i}(x)$ di grado inferiore a $B(x)$, allora tale polinomio $R_{i}(x)$ sarà il resto $R(x)$ della divisione; il polinomio

   $Q(x)=q_{k}x^{k}+q_{k-1}x^{k-1}+...+q_{0},$

   formatosi mano a mano sotto $B(x)$, sarà invece il polinomio quoziente.

Esempio

Per comprendere meglio l'algoritmo di divisione dei polinomi, in seguito viene svolto un esercizio a titolo d'esempio.

Dividiamo il polinomio

$A(x)=3x^{4}-x^{3}$

per il polinomio

$B(x)=x^{2}-2$

Passo 1

Scriviamo i due polinomi $A(x)$ e $B(x)$ come nel modo illustrato più sopra. Così che ognuno dei due polinomi sia ordinato per grado (in modo decrescente) e siano esplicitati anche i monomi con coefficiente 0.

$3x^{4}$	$-x^{3}$	$+0x^{2}$	$+0x$	$+0$	$x^{2}-2$

Passo 2

Dividiamo il termine di grado massimo di $A(x)$, che risulta essere $3x^{4}$, per il termine di grado massimo di $B(x)$, che è $x^{2}$ e scriviamo il risultato sotto $B(x)$.

$3x^{4}$	$-x^{3}$	$+0x^{2}$	$+0x$	$+0$	$x^{2}-2$
					$3x^{2}$

Passo 3

Ora scriviamo, sotto $A(x)$, il polinomio ricavato moltiplicando il risultato della divisione dei termini di grado massimo, per il polinomio $B(x)$. Bisogna tenere conto dei termini con coefficiente nullo.

$3x^{4}$	$-x^{3}$	$+0x^{2}$	$+0x$	$+0$	$x^{2}-2$
$3x^{4}$	$+0x^{3}$	$-6x^{2}$	$+0x$	$+0$	$3x^{2}$

Si può notare che, come già detto nel caso generale, i termini di grado maggiore di $A(x)$ e del polinomio scritto sotto $A(x)$, sono uguali.

Passo 4

Ora sottraiamo $A(x)$ con il polinomio scritto al di sotto per ottenere il polinomio $R_{1}(x)$.

$3x^{4}$	$-x^{3}$	$+0x^{2}$	$+0x$	$+0$	$x^{2}-2$
$3x^{4}$	$+0x^{3}$	$-6x^{2}$	$+0x$	$+0$	$3x^{2}$
$//$	$-x^{3}$	$+6x^{2}$	$+0x$	$+0$

Il grado di $R_{1}(x)=-x^{3}+6x^{2}$ è maggiore di quello di $B(x)$, dunque iteriamo il procedimento.

Passo 2b

Dividiamo il termine di grado massimo di $R_{1}$ che risulta essere $-x^{3}$ per il termine di grado massimo di $B(x)$ e scriviamo il risultato accanto a quello ottenuto precedentemente.

$3x^{4}$	$-x^{3}$	$+0x^{2}$	$+0x$	$+0$	$x^{2}-2$
$3x^{4}$	$+0x^{3}$	$-6x^{2}$	$+0x$	$+0$	$3x^{2}-x$
$//$	$-x^{3}$	$+6x^{2}$	$+0x$	$+0$

Passo 3b

Ora, come nel passo 3, moltiplichiamo il risultato della divisione appena eseguita che, nel nostro esempio risulta essere $-x$, per il polinomio $B(x)$ e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto $R_{1}(x)$.

$3x^{4}$	$-x^{3}$	$+0x^{2}$	$+0x$	$+0$	$x^{2}-2$
$3x^{4}$	$+0x^{3}$	$-6x^{2}$	$+0x$	$+0$	$3x^{2}-x$
$//$	$-x^{3}$	$+6x^{2}$	$+0x$	$+0$
	$-x^{3}$	$+0x^{2}$	$+2x$	$+0$

Passo 4b

Eseguiamo la sottrazione tra il polinomio $R_{1}(x)$ e il polinomio scritto sotto per ottenere $R_{2}(x)$.

$3x^{4}$	$-x^{3}$	$+0x^{2}$	$+0x$	$+0$	$x^{2}-2$
$3x^{4}$	$+0x^{3}$	$-6x^{2}$	$+0x$	$+0$	$3x^{2}-x$
$//$	$-x^{3}$	$+6x^{2}$	$+0x$	$+0$
	$-x^{3}$	$+0x^{2}$	$+2x$	$+0$
	$//$	$6x^{2}$	$-2x$	$+0$

Dato che il grado di $R_{2}(x)$ non è inferiore a quello di $B(x)$ dobbiamo iterare ancora un'altra volta il procedimento.

Passo 2c

Dividiamo il termine di grado superiore di $R_{2}(x)$ per il termine di grado superiore di $B(x)$.

$3x^{4}$	$-x^{3}$	$+0x^{2}$	$+0x$	$+0$	$x^{2}-2$
$3x^{4}$	$+0x^{3}$	$-6x^{2}$	$+0x$	$+0$	$3x^{2}-x+6$
$//$	$-x^{3}$	$+6x^{2}$	$+0x$	$+0$
	$-x^{3}$	$+0x^{2}$	$+2x$	$+0$
	$//$	$6x^{2}$	$-2x$	$+0$

Passo 3c

Moltiplichiamo $B(x)$ per il risultato della divisione appena eseguita e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto $R_{2}(x)$.

$3x^{4}$	$-x^{3}$	$+0x^{2}$	$+0x$	$+0$	$x^{2}-2$
$3x^{4}$	$+0x^{3}$	$-6x^{2}$	$+0x$	$+0$	$3x^{2}-x+6$
$//$	$-x^{3}$	$+6x^{2}$	$+0x$	$+0$
	$-x^{3}$	$+0x^{2}$	$+2x$	$+0$
	$//$	$6x^{2}$	$-2x$	$+0$
		$6x^{2}$	$+0x$	$-12$

Passo 4c

Eseguiamo la sottrazione tra $R_{2}(x)$ e il polinomio scritto sotto per ottenere il polinomio $R_{3}(x)$.

$3x^{4}$	$-x^{3}$	$+0x^{2}$	$+0x$	$+0$	$x^{2}-2$
$3x^{4}$	$+0x^{3}$	$-6x^{2}$	$+0x$	$+0$	$3x^{2}-x+6$
$//$	$-x^{3}$	$+6x^{2}$	$+0x$	$+0$
	$-x^{3}$	$+0x^{2}$	$+2x$	$+0$
	$//$	$6x^{2}$	$-2x$	$+0$
		$6x^{2}$	$+0x$	$-12$
		$//$	$-2x$	$+12$

Siamo giunti a $R_{3}(x)=-2x+12$, che ha grado strettamente minore di $B(x)=x^{2}-2$, dunque il resto è

$R(x)=R_{3}(x)$

e il quoziente della nostra divisione è

$Q(x)=3x^{2}-x+6$

possiamo quindi scrivere

${\begin{aligned}A(x)=B(x)&\cdot Q(x)+R(x)\\&\Downarrow \\3x^{4}-x^{3}=(x^{2}-2)&\cdot (3x^{2}-x+6)+(-2x+12)\end{aligned}}$

Regola di Ruffini

Una versione più sintetica di questo procedimento è attuabile quando il divisore B è della forma $B(x)=x-r$ o $B(x)=ax-k$, un binomio di primo grado. Tale regola è stata esposta da Paolo Ruffini per la prima volta nel 1810.

Bibliografia

• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica, vol. 3, Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.

Voci correlate

• Divisione (matematica)
• Polinomio
• Regola di Ruffini
• Teorema del resto