Duplicazione del cubo

Il problema della duplicazione del cubo, ossia la costruzione di un cubo avente volume doppio rispetto a quello di un cubo di spigolo dato, costituisce, assieme al problema della trisezione dell'angolo e a quello della quadratura del cerchio, uno dei tre problemi classici della geometria greca.

Duplicazione del cubo tramite la costante deliana

Questi tre problemi nacquero nel periodo classico della matematica greca (600 a.C. - 300 a.C.) e attraversarono tutta la storia della matematica.

Il problema della duplicazione del cubo è giunto a noi sotto forma di mito. La prima testimonianza in merito è una lettera di Eratostene al re Tolomeo III citata, settecento anni più tardi, dal commentatore Eutocio di Ascalona. Vi si narra di un antico tragico che, mettendo in scena il re Minosse al cospetto del sepolcro in costruzione, di forma cubica, del re Glauco, disse: «piccolo sepolcro per un re: lo si faccia doppio conservandone la forma; si raddoppino, pertanto, tutti i lati». Eratostene, dopo aver rilevato che l'ordine dato era erroneo, perché raddoppiando i lati di un cubo se ne ottiene un altro con volume otto volte maggiore, riferisce che nacque tra gli studiosi il cosiddetto "problema della duplicazione del cubo".

La seconda testimonianza, conosciuta come Problema di Delo, è dell'espositore Teone di Smirne. Egli, citando Eratostene, riporta che gli abitanti di Delo, avendo interrogato l'oracolo di Apollo sul modo di liberarsi dalla peste, avessero ricevuto l'ordine di costruire un altare, di forma cubica, dal volume doppio rispetto a quello esistente.

I problemi classici, così come tutti i problemi della matematica, non risultano ben posti se non dopo che si sia precisato l'insieme degli strumenti assegnati per la loro risoluzione.

Impossibilità di duplicare il cubo usando solo riga e compasso

Per dimostrare l'impossibilità di duplicare un cubo con il solo uso di riga e compasso occorre, innanzitutto, precisare cosa significhi effettuare una costruzione con riga e compasso.

Eseguire una costruzione con riga e compasso vuol dire, in parole povere, determinare oggetti geometrici, a partire da altri oggetti dati, utilizzando come unici strumenti la riga ed il compasso.

Va precisato che con “riga” non s'intende uno strumento per misurare o segnare distanze, ma soltanto un'asta rigida che permetta solo di tracciare delle rette: dunque si intende una riga non marcata.

I problemi di costruzione, e quindi il problema della duplicazione del cubo, sono stati accanitamente studiati per secoli e senza risultati; dopo un lungo tempo di tentativi infruttuosi, ha iniziato ad insinuarsi l'idea, tra i matematici, che tali problemi fossero irrisolvibili.

Per arrivare a studiare la risolubilità o meno dei problemi classici fu però necessario aspettare che venissero gettate le fondamenta per l'algebra moderna.

Il problema della duplicazione del cubo si riduce, algebricamente, alla costruzione con riga e compasso del numero ${\sqrt[{3}]{2}}$. Per dimostrare l'impossibilità di tale costruzione occorre formalizzare, in termini algebrici, l'idea intuitiva di “costruzione con riga e compasso”.

Supponiamo che sia dato un insieme di punti $P_{0}$ nel piano euclideo $\mathbb {R} ^{2}$ e consideriamo due tipi di operazioni:

• Operazione 1 (riga): tracciare una linea retta che colleghi due qualsiasi punti di $P_{0}.$
• Operazione 2 (compasso): disegnare una circonferenza il cui centro sia un punto di $P_{0}$ e il cui raggio sia uguale alla distanza tra due punti di $P_{0}.$
• Definizione 1: i punti di intersezione di due rette, due circonferenze, una retta e una circonferenza, tracciate con le operazioni 1 e 2, vengono detti costruibili in un solo passo da $P_{0}.$
• Definizione 2: un punto $r\in \mathbb {R} ^{2}$si dice costruibile da $P_{0}$ se esiste una successione finita $r_{1},\ldots ,r_{n}=r$ di punti di $\mathbb {R} ^{2}$ tale che, per ogni $i=1,\ldots ,n,$ il punto $r_{i}$ è costruibile in un solo passo dall'insieme $P_{0}\cup \{r_{1},\ldots ,r_{i-1}\}.$

Esempio

Mostriamo come la costruzione standard di un punto medio di un dato segmento può essere realizzata con queste considerazioni.

Supponiamo di avere due punti dati $p_{1},p_{2}\in \mathbb {R} ^{2}$ e che sia $P_{0}=\{p_{1},p_{2}\}.$

1. tracciare il segmento $p_{1}p_{2}$ (operazione 1);
2. tracciare il cerchio con centro $p_{1}$ e raggio $p_{1}p_{2}$ (operazione 2);
3. tracciare il cerchio con centro $p_{2}$ e raggio $p_{1}p_{2}$ (operazione 2);
4. individuare come $r_{1},r_{2}$ i punti di intersezione di questi due cerchi;
5. tracciare il segmento $r_{1}r_{2}$ (operazione 1);
6. individuare come $r_{3}$ l'intersezione tra i segmenti $p_{1}p_{2}$ e $r_{1}r_{2}.$

Allora la successione $r_{1},r_{2},r_{3}$ definisce la costruzione del punto medio di $p_{1}p_{2}$ e questo risulta costruibile da $P_{0}.$

Consideriamo ora il problema dal punto di vista della teoria dei campi.

A ogni passo della costruzione associamo il sottocampo di $\mathbb {R}$ generato dalle coordinate dei punti costruiti.

Quindi sia $K_{0}$ il sottocampo di $\mathbb {R}$ generato dalle coordinate $x$ e $y$ del punto in $P_{0}.$

Se $r_{i}$ ha coordinate $(x_{i},y_{i})$ allora, in maniera induttiva, definiamo $K_{i}$ il campo ottenuto da $K_{i-1}$ aggiungendo $x_{i}$ e $y_{i}$ così che sia:

$K_{i}:=K_{i-1}(x_{i},y_{i}).$

Ovviamente si ha che

$K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \ldots \subseteq K_{n}\subseteq \mathbb {R} .$

Lemma 1

Con le notazioni precedenti $x_{i}$ e $y_{i}$ sono zeri, in $K_{i},$ di un polinomio al più di secondo grado di $K_{i-1}.$

Dimostrazione

Le coordinate $x_{i}$ e $y_{i}$ del punto $r_{i}$ si ottengono intersecando due rette, due circonferenze oppure una retta e una circonferenza.

Dimostriamo il lemma nell'ultimo caso.

Siano $A,B,C$ i punti di coordinate $(p,q),(r,s),(t,u)$ in $K_{i-1}.$

Si tracci la retta $AB$ e la circonferenza di centro $C$ e raggio $w.$ $w^{2}\in K_{i-1}$ dato che $w$ è la distanza tra due punti a coordinate in $K_{i-1}.$

L'equazione della retta $AB$ è

${\frac {x-p}{r-p}}={\frac {y-q}{s-q}}$

e l'equazione della circonferenza è

$\left(x-t\right)^{2}+\left(y-u\right)^{2}=w^{2}.$

Le coordinate dei punti di intersezione si ottengono risolvendo il sistema

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {x-p}{r-p}}={\frac {y-q}{s-q}}\\\left(x-t\right)^{2}+\left(y-u\right)^{2}=w^{2}\end{matrix}}\right.$

Da qui si ricava

$\left(x-t\right)^{2}+\left({\frac {(s-q)(x-p)}{r-p}}+q-u\right)^{2}=w^{2}.$

L'ascissa dei punti di intersezione $X$ e $Y$ è lo zero di un polinomio di secondo grado in $K_{i-1}.$ Lo stesso vale per l'ordinata.

Teorema 1

Se $r=\left(x,y\right)$ è costruibile da un sottoinsieme $P_{0}$ di $\mathbb {R} ^{2}$ e se $K_{0}$ è il sottocampo di $\mathbb {R}$ generato dalle coordinate dei punti di $P_{0}$ allora i gradi di

$\left[K_{0}\left(x\right):K_{0}\right]$   e   $\left[K_{0}\left(y\right):K_{0}\right]$

sono potenze di $2$.

Dimostrazione

Si ha che

$\left[K_{i-1}\left(x_{i}\right):K_{i-1}\right]=1$ se il polinomio di II grado di cui $x_{i}$ è uno zero è riducibile

$\left[K_{i-1}\left(x_{i}\right):K_{i-1}\right]=2$ se il polinomio di II grado di cui $x_{i}$ è uno zero è irriducibile

e, analogamente,

$\left[K_{i-1}\left(y_{i}\right):K_{i-1}\right]=1$ se il polinomio di II grado di cui $y_{i}$ è uno zero è riducibile

$\left[K_{i-1}\left(y_{i}\right):K_{i-1}\right]=2$ se il polinomio di II grado di cui $y_{i}$ è uno zero è irriducibile

Inoltre

$\left[K_{i-1}\left(x_{i},y_{i}\right):K_{i-1}\right]=\left[K_{i-1}\left(x_{i},y_{i}\right):K_{i-1}\left(x_{i}\right)\right]\left[K_{i-1}\left(x_{i}\right):K_{i-1}\right]\in \{1.2.4\}$

Quindi $\left[K_{i}:K_{i-1}\right]$ è una potenza di $2$.

E, per induzione, $\left[K_{n}:K_{0}\right],$ è una potenza di $2$.

Ma, dato che, $\left[K_{n}:K_{0}\left(x\right)\right]\left[K_{0}\left(x\right):K_{0}\right]=\left[K_{n}:K_{0}\right]$, segue che $\left[K_{0}\left(x\right):K_{0}\right]$ è una potenza di $2$.

Similmente $\left[K_{0}\left(y\right):K_{0}\right]$ è una potenza di $2$.

Teorema 2

Il cubo non può essere duplicato mediante l'uso di riga e compasso.

Dimostrazione

Consideriamo un cubo di spigolo unitario.

Sia $P_{0}=\left\{\left(0;0\right),\left(1;0\right)\right\}$ e quindi, in questo caso è $K_{0}=\mathbb {Q} .$

Se il cubo fosse duplicabile, allora potremmo costruire un punto di coordinate $\left(\alpha ;0\right)$ tale che
$\,\alpha ^{3}=2$ e quindi, per il teorema1, $\left[\mathbb {Q} \left(\alpha \right):\mathbb {Q} \right]$ dovrebbe essere una potenza di $2$.

Ma $\alpha$ è zero del polinomio $t^{3}-2$ che è irriducibile su $\mathbb {Q} .$

Inoltre $t^{3}-2$ è il minimo polinomio di $\alpha$ su $\mathbb {Q}$ e $\left[\mathbb {Q} \left(\alpha \right):\mathbb {Q} \right]=3$.

Ciò dimostra l'impossibilità di duplicare il cubo con riga e compasso.

Soluzioni del problema

Abbandonando il vincolo di utilizzare solo riga e compasso, il problema della duplicazione del cubo diventa risolubile e diverse sono le costruzioni possibili.

Riduzione di Ippocrate di Chio

Ippocrate di Chio, discepolo di Pitagora, vissuto tra il 460 a.C. e il 380 a.C., sembra sia stato il primo a risolvere il problema della duplicazione del cubo seguendo il metodo di riduzione. Tale metodo consiste nel trasformare un problema in un altro, risolto il quale resta risolto anche il problema primitivo.

Presso i Pitagorici era noto come inserire un segmento x medio proporzionale tra due segmenti dati $a$ e $b,$ cioè, era noto come costruire segmenti che verificassero la proporzione $a:x=x:b.$

Non era nota, invece, l'estensione al caso dell'inserzione di due segmenti $x$ e $y,$ medi proporzionali tra due segmenti dati, in modo che valga la proporzione $a:x=x:y=y:b.$

L'idea, attribuita ad Ippocrate di Chio, consiste nel ridurre il problema della duplicazione del cubo a quello della inserzione di due medie proporzionali fra due segmenti dati, problema che, con un linguaggio più moderno, si può così enunciare.

Dati due segmenti $a$ e $b,$ costruirne altri due $x$ e $y$ che, con $a$ e $b$ presi come termini estremi, formino una catena di rapporti uguali, ovvero

${\frac {a}{x}}={\frac {x}{y}}={\frac {y}{b}}.$

Da questa catena di rapporti uguali deriva

$\left\{{\begin{matrix}x={\frac {ab}{y}}\\x^{2}=ay\end{matrix}}\right.$

da cui

$x^{3}=a^{2}b$

Il segmento $x$ è quindi il lato di un cubo equivalente a un parallelepipedo rettangolo a base quadrata di spigolo $a$ e avente altezza $b$. In particolare, se si scrive b = ma (m numero razionale), si ottiene:

$x^{3}=ma^{3},$

cioè un cubo di spigolo $x$ equivalente a $m$ volte un cubo di spigolo $a.$ Ponendo $m=2,$ cioè $b=2a,$ si ottiene

$x^{3}=2a^{3},$

si ricade nel problema della duplicazione del cubo poiché $x$ è il lato di un cubo avente volume doppio rispetto a quello di lato $a.$

Con la scoperta attribuita ad Ippocrate di Chio, la difficoltà era soltanto cambiata di forma e non si era conseguito altro vantaggio che quello di presentare la questione primitiva come un problema di geometria piana.

Soluzione di Archita

Archita di Taranto, vissuto approssimativamente tra il 430 a.C. e il 360 a.C., fornì una soluzione tridimensionale del problema di Delo, che può essere oggi facilmente descritta utilizzando il linguaggio moderno della geometria analitica.

Sia $a$ il lato del cubo da duplicare e, relativamente a un sistema di riferimento cartesiano ortogonale di origine $O,$ sia $C=(a,0,0)$ il centro di cerchi di raggio $a$ giacenti in piani perpendicolari agli assi.

Attraverso il cerchio di centro $C$ perpendicolare all'asse delle ascisse si costruisce un cono circolare retto avente il vertice nell'origine; attraverso il cerchio di centro $C$ che giace nel piano degli assi $x$ e $y$ si fa passare un cilindro; il cerchio che giace nel piano $Oxz$ venga fatto ruotare attorno all'asse $z$ così da generare un toro.

Le equazioni di queste tre superfici sono, rispettivamente:

$x^{2}=y^{2}+z^{2}$

$2ax=x^{2}+y^{2}$

$\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}=4a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).$

Esse si intersecano in un punto la cui ascissa è $a{\sqrt[{3}]{2}}$. Pertanto la lunghezza di questo segmento rappresenta il lato del cubo desiderato.

Il risultato ottenuto da Archita appare ancor più straordinario se teniamo conto che egli giunse alla sua soluzione per via sintetica, senza l'uso delle coordinate cartesiane.

Soluzioni di Menecmo

Menecmo fu allievo di Eudosso e visse nella metà del IV secolo a.C.; a lui si devono due diverse soluzioni del problema della duplicazione del cubo.

Prima soluzione

Utilizzando le notazioni moderne della geometria analitica la soluzione si ottiene facilmente come intersezione di due parabole.

Si considerino due parabole, di equazioni

$y^{2}=2ax$

e

$x^{2}=ay$

Dalla loro intersezione si ottiene

$x^{4}=a^{2}y^{2}=2a^{3}x$

da cui, trascurando la soluzione $x=0,$ si trova

$x^{3}=2a^{3}$

e quindi

$x=a{\sqrt[{3}]{2}}.$

Intersecando le due parabole si ottiene dunque un punto la cui ascissa è il lato del cubo di volume doppio del volume del cubo assegnato.

Seconda soluzione

Utilizzando le notazioni moderne della geometria analitica la seconda soluzione si ottiene come intersezione di una parabola e una iperbole. Si considerino la parabola e l'iperbole, rispettivamente di equazioni:

$y^{2}={\frac {a}{2}}x$

$xy=a^{2}$

Dalla loro intersezione si ottiene

$x^{3}=2a^{3}$

e quindi

$x=a{\sqrt[{3}]{2}}.$

Intersecando la parabola e l'iperbole si ottiene dunque un punto la cui ascissa è il lato del cubo di volume doppio del cubo assegnato.

Soluzione di Nicomede

Nicomede (250 a.C. – 180 a.C.) costruì una curva di quarto grado, da lui chiamata concoide per la somiglianza con una conchiglia, che gli permise di risolvere alcuni problemi di inserzione, tra cui quelli generati dal problema della duplicazione del cubo.

Per generare la concoide, si prenda una retta $r$ e un punto $P$ esterno a essa (retta e punto si chiamano, rispettivamente, base e polo della concoide) e sia $a$ la distanza tra il polo dalla base. Condotta per il polo una retta qualunque $s,$ siano $AC$ e $AB$ due segmenti congruenti ad un segmento dato di lunghezza $b$ chiamata intervallo, situati da parti opposte rispetto alla base. Al variare di $A$ su $r,$ il punto $C$ descrive la concoide. Vediamo come, mediante la concoide di Nicomede, si risolve il problema delle due medie proporzionali. Siano $AB,AD,$ due segmenti perpendicolari dati, tra cui devono essere inseriti i medi proporzionali. Sia $AD>AB$ e per semplicità supponiamo $AB=2a,AD=2b.$

Si costruisca il rettangolo $ABCD$ individuato dai segmenti dati; dividendo a metà $AD$ e dato $E$ il punto medio, si unisca questo con $C;$ si prolunghi $CE$ fino ad incontrare in $F$ il prolungamento di $AB.$ Da $G,$ punto medio di $AB,$ si tracci la perpendicolare ad $AB$ e con centro in $B$ e raggio uguale a $b$ (metà di $AD$) si tagli con un arco di circonferenza la detta perpendicolare nel punto $H,$ dalla parte di $AB$ in cui non è situato il rettangolo $ABCD.$ Si unisca $H$ con $F$ e da $B$ si conduca la retta $BI$ parallela a $HF.$ Si tracci allora la concoide avente $H$ come polo, $BI$ come base e un intervallo uguale a $b.$

La concoide così descritta incontra la retta $AB$ in un punto $K$ e le due rette $AB$ e $BI$ individuano su $HK$ un segmento $MK=b.$

Indicato con $L$ il punto d'incontro della retta $CK$ con la retta $AD,$ si dimostra che i due segmenti $BK$ e $DL$ sono le due medie proporzionali cercate. Infatti, posto $BK=x$ e $DL=y$ in conseguenza delle costruzioni fatte si ha:

$HG={\sqrt {b^{2}-a^{2}}}$

$GK=a+x$

e perciò unendo $H$ con $K,$

$HK={\sqrt {HG^{2}+GK^{2}}}={\sqrt {b^{2}-a^{2}+\left(a+x\right)^{2}}}={\sqrt {b^{2}+2ax+x^{2}}}.$

Ma dai triangoli simili $BMK,FHK$ segue $FK:BK=HK:MK,$ e osservando che $MK=b$ e che $FK=4a+x,$ sostituendo nella proporzione precedente, abbiamo:

${\frac {4a+x}{x}}={\frac {\sqrt {b^{2}+2ax+x^{2}}}{b}}$

Da qui, elevando a quadrato si ottiene

${\frac {16a^{2}+8ax+x^{2}}{x^{2}}}={\frac {b^{2}+2ax+x^{2}}{b^{2}}}$

ed eliminando i denominatori

$16a^{2}b^{2}+8ab^{2}x+b^{2}x^{2}=b^{2}x^{2}+x^{4}+2ax^{3}.$

Riducendo e trasportando risulta

$x^{4}+2ax^{3}-8ab^{2}x-16a^{2}b^{2}=0$

ossia

$x^{3}\left(x+2a\right)-8ab^{2}\left(x+2a\right)=0$

da cui

$\left(x^{3}-8ab^{2}\right)\left(x+2a\right)=0$

ed essendo $\,x+2a$ diverso da zero (dato che $x$ e $2a$ sono misure di segmenti) necessariamente risulta

$x^{3}-8ab^{2}=0$

ossia

$x^{3}=2a\left(2b\right)^{2}.$

Dalla similitudine dei triangoli $LDC,BCK$ si ha che $2a:y=x:2b$ e, quindi,

$xy=4ab$

da cui si può scrivere

$y={\frac {4ab}{x}}$

Elevando alla terza potenza

$y^{3}={\frac {4^{3}a^{3}b^{3}}{x^{3}}}$

ma

$x^{3}=2a\left(2b\right)^{2}$

e quindi

$y^{3}={\frac {4^{3}a^{3}b^{3}}{2^{3}ab^{2}}}$

semplificando si ottiene

$y^{3}=2b\left(2a\right)^{2}$

Dunque abbiamo:

$\left\{{\begin{matrix}xy=4ab\\x^{3}=2a\left(2b\right)^{2}\\y^{3}=2b\left(2a\right)^{2}\end{matrix}}\right.$

La terza e la prima uguaglianza, divise membro a membro, danno

(1)     ${\frac {y^{2}}{x}}=2a$

cioè

$y^{2}=2ax.$

A loro volta la seconda e la prima divise membro a membro danno:

(2)     ${\frac {x^{2}}{y}}=2b,$

cioè

$x^{2}=2by.$

Risulta, infine:

${\frac {2a}{y}}={\frac {y}{x}}={\frac {x}{2b}}$

In particolare se $2a=L,$ e $b=L,y$ è uguale al lato del cubo doppio di quello avente $1$ per lato. Infatti dalla (1) e dalla (2) segue:

${\frac {y^{4}}{4a^{2}}}=2by$

e quindi

$y^{3}=8a^{2}b$

sostituendo i valori di $a$ e $b$

$y^{3}=2L^{3}$

estraendo la radice cubica

$y=L{\sqrt[{3}]{2}}$

e, se $L=1,$ si ha

$y={\sqrt[{3}]{2}}.$

Soluzione di Diocle

Anche Diocle (240 a.C. ca. - 180 a.C. ca.) costruì una curva, ora chiamata cissoide di Diocle, in grado di risolvere graficamente il problema della duplicazione del cubo. Si consideri una circonferenza di diametro $OU$ e sia $t$ la retta essa tangente nel punto $U.$ Sia $T$ un punto qualsiasi della retta $t.$ Sia $K$ l'intersezione tra la retta $OT$ e la circonferenza; su $OT$ si consideri il punto $M$ tale che $OM=KT.$ Il luogo geometrico del punto $M,$ quando $T$ descrive la tangente $t,$ è la cissoide di Diocle.

(inserire immagine4)

Vediamo come si possa risolvere il problema della duplicazione del cubo attraverso la cissoide.

Se $AB$ è il lato del cubo da duplicare, consideriamo la cissoide relativa alla circonferenza di diametro $AB=a;$ si riporti, sulla tangente in $A$ alla circonferenza un segmento $AS=2a;$ congiunto $S$ con $B,$ sia $U$ l'intersezione di $SB$ con la cissoide; si unisca $U$ con $A$ e sia $T$ l'intersezione di $UA$ con la tangente in $B$ alla circonferenza.

(inserire immagine5)

Per la costruzione effettuata si ha che $BT$ è il lato del cubo di volume doppio del cubo di lato $a$ dato. Infatti i triangoli $SAB$ e $UHB$ sono simili e dunque:

$SA:AB=UH:HB.$

Se scriviamo $\left(x,y\right)$ con $x\in \left[0,a\right]$ la coppia delle coordinate di un punto $U$ della cissoide, la proporzione precedente diventa:

$2a:a=y:\left(a-x\right)$

da cui

(1)     ${\frac {y}{a-x}}=2.$

Tenendo conto che l'equazione della cissoide è

$x^{3}=\left(a-x\right)y^{2}$

si ottiene

(2)     ${\frac {1}{a-x}}={\frac {y^{2}}{x^{3}}}.$

Sostituendo la (2) nella (1) si ha

(3)     ${\frac {y^{3}}{x^{3}}}=2.$

Si considerino ora i triangoli simili ATB e AUH; si può scrivere:

$BT:AB=UH:AH$

e quindi:

$BT:a=y:x$

da cui

$BT={\frac {ya}{x}}.$

Elevando al cubo si ottiene

$BT^{3}={\frac {y^{3}a^{3}}{x^{3}}}$

e sostituendo in quest'ultima l'espressione (3) si ottiene

$BT^{3}=2a^{3}.$

Ciò dimostra che $BT$ è il lato del cubo di volume doppio rispetto al cubo di lato $a.$

Soluzione di Eratostene

Eratostene, come sappiamo da Eutocio, dette una soluzione meccanica del problema, progettando uno strumento, il mesolabio, con il quale era possibile inserire due medi proporzionali tra due segmenti assegnati.

Bibliografia

• Doubling the cube, articolo in Encyclopaedia Britannica
• Federigo Enriques (1987): Questioni riguardanti le matematiche elementari, parte seconda, Zanichelli

Voci correlate

• Quadratura del cerchio
• Trisezione dell'angolo
• Pseudomatematica
• Costante deliana

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Collegamenti esterni

• (EN) doubling the cube, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Duplicazione del cubo, su MathWorld, Wolfram Research.
• Doubling the cube su MacTutor
• Il problema delle medie proporzionali: un dibattito rinascimentale, su dm.unipi.it. URL consultato il 5 aprile 2008 (archiviato dall'url originale il 23 giugno 2009).