Equazioni di Rabinovič-Fabrikant

Le equazioni di Rabinovič-Fabrikant sono un insieme di tre equazioni differenziali ordinarie accoppiate che mostrano un comportamento caotico per determinati valori dei parametri. Prendono il loro nome dai fisici sovietici Michail Rabinovič e Anatolij Fabrikant, che le hanno descritte nel 1979.

Descrizione del sistema

Le equazioni sono:^[1]

${\dot {x}}=y(z-1+x^{2})+\gamma x\,$

${\dot {y}}=x(3z+1-x^{2})+\gamma y\,$

${\dot {z}}=-2z(\alpha +xy),\,$

dove α, γ sono costanti che controllano l'evoluzione del sistema. Per alcuni valori di α e γ, il sistema è caotico, ma per altri tende a un'orbita periodica stabile.

Danca e Chen^[2] sottolineano quanto il sistema Rabinovič-Fabrikant sia difficile da analizzare (a causa della presenza di termini quadratici e cubici) e che è possibile ottenere attrattori diversi per gli stessi parametri utilizzando diverse grandezze nell'integrazione. Inoltre, recentemente, è stato scoperto un attrattore nascosto nel sistema Rabinovič-Fabrikant.^[3]

Punti di equilibrio

Grafico delle regioni per cui i punti di equilibrio

{\tilde {\mathbf {x} }}_{1,2,3,4}

esiste.

Il sistema Rabinovič-Fabrikant ha cinque punti di equilibrio iperbolico, uno all'origine e quattro dipendenti dai parametri di sistema α e γ :^[2]

${\tilde {\mathbf {x} }}_{0}=(0,0,0)$

${\tilde {\mathbf {x} }}_{1,2}=\left(\pm q_{-},-{\frac {\alpha }{q_{-}}},1-\left(1-{\frac {\gamma }{\alpha }}\right)q_{-}^{2}\right)$

${\tilde {\mathbf {x} }}_{3,4}=\left(\pm q_{+},-{\frac {\alpha }{q_{+}}},1-\left(1-{\frac {\gamma }{\alpha }}\right)q_{+}^{2}\right)$

dove

q_{\pm }={\sqrt {\frac {1\pm {\sqrt {1-\gamma \alpha \left(1-{\frac {3\gamma }{4\alpha }}\right)}}}{2\left(1-{\frac {3\gamma }{4\alpha }}\right)}}}

Questi punti di equilibrio esistono solo per determinati valori di α e γ > 0.

γ = 0.87, α = 1.1

Un esempio di comportamento caotico è ottenuto per γ = 0.87 e α = 1.1 con condizioni iniziali di (-1, 0, 0.5).^[4] La dimensione di correlazione è risultata pari a 2,19 ± 0,01.^[5] Gli esponenti di Ljapunov, λ sono approssimativamente 0.1981, 0, -0.6581 e la dimensione di Kaplan-Yorke, D _KY ≈ 2.3010^[4]

γ = 0,1

Danca e Romera^[6] hanno mostrato che per γ = 0,1, il sistema è caotico per α = 0,98, ma progredisce su un ciclo limite stabile per α = 0,14.

Diagramma parametrico 3D della soluzione delle equazioni Rabinovič-Fabrikant per α = 0,14 e γ = 0,1 (il ciclo limite è mostrato dalla curva rossa)

Note

^ Michail I. Rabinovich e Anatolij L. Fabrikant, Stochastic Self-Modulation of Waves in Nonequilibrium Media, in Sov. Phys. JETP, vol. 50, 1979, p. 311.
^ ^a ^b (EN) Marius-F. Danca e Guanrong Chen, Bifurcation and Chaos in a Complex Model of Dissipative Medium, in International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 14, n. 10, ottobre 2004, pp. 3409-3447, DOI:10.1142/S0218127404011430. URL consultato il 7 luglio 2019.
^ (EN) Marius-F. Danca, Nikolaj Kuznecov e Guanrong Chen, Unusual dynamics and hidden attractors of the Rabinovich–Fabrikant system, in Nonlinear Dynamics, vol. 88, n. 1, aprile 2017, pp. 791-805, DOI:10.1007/s11071-016-3276-1. URL consultato il 7 luglio 2019.
^ ^a ^b Julien C. Sprott, Chaos and time-series analysis, Oxford University Press, 2003, ISBN 0198508395, OCLC 493261461.
^ (EN) Peter Grassberger e Itamar Procaccia, Measuring the strangeness of strange attractors, in Physica D: Nonlinear Phenomena, vol. 9, n. 1-2, 1983-10, pp. 189-208, DOI:10.1016/0167-2789(83)90298-1. URL consultato il 7 luglio 2019.
^ Marius-F. Danca, Miguel Romera e Gerardo Pastor, Finding attractors of continuous-time systems by parameter switching, in Nonlinear Dynamics, vol. 67, n. 4, 28 settembre 2011, pp. 2317-2342, DOI:10.1007/s11071-011-0172-6. URL consultato il 7 luglio 2019.

Bibliografia

Marius-F. Danca e Miguel Romera, Algorithm for Control and Anticontrol of Chaos in Continuous-Time Dynamical Systems, in Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, vol. 15, Watam Press, 2008, pp. 155-164.
Marius-F. Danca e Guanrong Chen, Birfurcation and Chaos in a Complex Model of Dissipative Medium, in International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 14, n. 10, World Scientific Publishing Company, 2004, pp. 3409-3447, DOI:10.1142/S0218127404011430.

Voci correlate

Teoria del caos

Collegamenti esterni

Eric W. Weisstein, Rabinovich-Fabrikant Equation, su MathWorld - A Wolfram Web Resource.
Chaotics modella un approccio più appropriato al grafico caotico del sistema "Rabinovich-Fabrikant Equation"

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[Rabinovich-1] Michail I. Rabinovich e Anatolij L. Fabrikant, Stochastic Self-Modulation of Waves in Nonequilibrium Media, in Sov. Phys. JETP, vol. 50, 1979, p. 311.

[:0-2] (EN) Marius-F. Danca e Guanrong Chen, Bifurcation and Chaos in a Complex Model of Dissipative Medium, in International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 14, n. 10, ottobre 2004, pp. 3409-3447, DOI:10.1142/S0218127404011430. URL consultato il 7 luglio 2019.

[3] (EN) Marius-F. Danca, Nikolaj Kuznecov e Guanrong Chen, Unusual dynamics and hidden attractors of the Rabinovich–Fabrikant system, in Nonlinear Dynamics, vol. 88, n. 1, aprile 2017, pp. 791-805, DOI:10.1007/s11071-016-3276-1. URL consultato il 7 luglio 2019.

[:1-4] Julien C. Sprott, Chaos and time-series analysis, Oxford University Press, 2003, ISBN 0198508395, OCLC 493261461.

[5] (EN) Peter Grassberger e Itamar Procaccia, Measuring the strangeness of strange attractors, in Physica D: Nonlinear Phenomena, vol. 9, n. 1-2, 1983-10, pp. 189-208, DOI:10.1016/0167-2789(83)90298-1. URL consultato il 7 luglio 2019.

[6] Marius-F. Danca, Miguel Romera e Gerardo Pastor, Finding attractors of continuous-time systems by parameter switching, in Nonlinear Dynamics, vol. 67, n. 4, 28 settembre 2011, pp. 2317-2342, DOI:10.1007/s11071-011-0172-6. URL consultato il 7 luglio 2019.

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