Fattore di Fano

Il fattore di Fano è un coefficiente di variazione introdotto nel 1947 dal fisico Ugo Fano.

Si tratta di un fattore di correzione che lega la varianza di una statistica poissoniana alla varianza misurata sperimentalmente:

$F={\frac {\sigma _{sper}^{2}}{\sigma _{pois}^{2}}}$

dove $F$ indica il fattore di Fano, mentre $\sigma _{sper}^{2}$ indica la varianza sperimentale misurata e $\sigma _{pois}^{2}$ quella teorica.

Utilizzo

Distribuzione poissoniana, approssimata con la gaussiana, per i valori di energia misurati da un rivelatore, ed FWHM, senza la correzione del fattore di Fano.

Distribuzione poissoniana, approssimata con la gaussiana, per i valori di energia misurati da un rivelatore, ed FWHM, con la correzione del fattore di Fano. Nell'esempio specifico in figura, $F=0,16\ ({\sqrt {F}}=0,4)\ .$

Andando a misurare la risoluzione energetica di un rivelatore a semiconduttore o a gas, si trova un valore più basso rispetto alla previsione teorica dovuta alla statistica poissoniana. Poiché i processi di ionizzazione non sono del tutto indipendenti ma legati alle shell elettroniche discrete, non è possibile utilizzare la statistica poissoniana e bisogna quindi introdurre una correzione.

Consideriamo un fascio di particelle ionizzanti incidenti sul rivelatore, ciascuna di energia E. Indicata con w l'energia di ionizzazione del materiale, cioè l'energia necessaria per produrre una singola ionizzazione (generazione di coppia ione-elettrone), ci si aspetta che il numero medio di ionizzazioni (di coppie) prodotte da una singola particella ionizzante sia:

$N={\frac {E}{w}}$

Secondo la statistica poissoniana, la cui distribuzione ha la proprietà che la varianza è numericamente uguale al valore atteso, il cui stimatore è il valor medio, che in questo caso è N, la varianza è data da:

$\sigma _{pois}^{2}=N$.

La varianza corretta con il fattore di Fano risulta essere:

$\sigma ^{2}=F\ N$.

Quando il valor medio N è molto grande, la distribuzione di Poisson può essere approssimata con la distribuzione normale il cui andamento è descritto da una gaussiana. Nel caso di picchi energetici gaussiani, per calcolare la risoluzione energetica si utilizza la relazione tra la FWHM e la deviazione standard $\sigma$:

$FWHM\approx 2,35\ \sigma$.

Si noti che, fino a questo punto del discorso, dal punto di vista dell'analisi dimensionale, poiché N ed F sono numeri puri, sono tali anche $\sigma$ e FWHM. Per tale motivo, se siamo interessati alla deviazione standard o alla FWHM della distribuzione dei valori dell'energia misurati dal rivelatore, allo scopo di ottenere un'energia occorre moltiplicare tali numeri puri per l'energia w corrispondente ad un singolo evento di ionizzazione:

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sigma (E)=\sigma \ w$

$FWHM(E)\approx 2,35\ \sigma (E)=2,35\ \sigma \ w\ .$

La risoluzione energetica percentuale è il rapporto tra la FWHM e il valore di energia E corrispondente al picco nella distribuzione di valori misurati dal rivelatore:

$R={\frac {FWHM(E)}{E}}\approx {\frac {2,35\ \sigma (E)}{E}}$

e dalle relazioni precedenti si ottiene:

$R\approx {\frac {2,35\ \sigma \ w}{E}}\approx {\frac {2,35\ {\sqrt {F\ N}}\ w}{N\ w}}={\frac {2,35{\sqrt {FN}}}{N}}\ .$

In definitiva, la risoluzione energetica percentuale risulta essere:

$R=2,35{\sqrt {\frac {F}{N}}}=2,35{\sqrt {\frac {F\ w}{E}}}$.

Valore

Il fattore di Fano è un coefficiente numerico compreso tra 0 e 1: il valore dipende dal materiale che compone il rivelatore, in particolare più il valore è basso e migliore sarà la risoluzione del rivelatore. Il fattore di Fano è una caratteristica importante dei materiali che compongono i rivelatori di particelle, è stato calcolato per il silicio e il germanio che compongono i diversi tipi di rivelatori a semiconduttore e per diverse misture di gas nobili (argon, xeno, kripton) utilizzate nei rivelatori a gas.

Voci correlate

• Ugo Fano
• Risoluzione (metrologia)
• Distribuzione di Poisson
• Rivelatore a semiconduttore
• Rivelatore a gas
• Larghezza a metà altezza

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